Question

14．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连结CF、AD．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）求证：AD⊥CF；
（3）连结AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证出CD=DB，BF=DB，得出BF=CD，再证出∠CBF=∠ACD，由BC=AC，即可证出Rt△CBF≌Rt△ACD（SAS）；
（2）由Rt△CBF≌Rt△ACD得出∠BCF=∠CAD，从而证出∠AGC=90°，得出AD⊥CF；
（3）由（2）可得CF=AD，又AB垂直平分DF，可得AD=AF，可证明CF=AF，可知△ACF为等腰三角形．

解答 证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=CB，∠CBA=∠CAB=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，∠BDE=45°，
又∵BF∥AC，
∴∠CBF=90°，
∴∠BFD=∠BDE=45°，∠BFD=∠ACD=90°，
∴BF=DB，
∵D为BC的中点，
∴CD=DB，
∴BF=CD，
在△CBF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBF=∠ACD}\\{BF=CD}\end{array}\right.$
∴△CBF≌△ACD（SAS）；

（2）由（1）得△CBF≌△ACD，
∴∠BCF=∠CAD，
∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°，即∠AGC=90°，
∴AD⊥CF；

（3）由（2）可知△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，
由（1）可知AB垂直平分DF，
∴AD=AF，
∴AF=CF，
∴△ACF为等腰三角形．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键．