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【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为1,点P是AD边上的一个动点,点A关于直线BP的对称点是点Q,连接PQ、DQ、CQ、BQ,设AP=x.

(1)BQ+DQ的最小值是_______,此时x的值是_______;

(2)如图,若PQ的延长线交CD边于点E,并且CQD=90°

求证:点E是CD的中点; 求x的值.

(3)若点P是射线AD上的一个动点,请直接写出当CDQ为等腰三角形时x的值.

【答案】(1);(2) 理由详见解析;;(3) 2﹣或2+

【解析】

试题分析:(1)根据两点之间,线段最短可知,点Q在线段BD上时BQ+DQ的值最小,是BD的长度,利用勾股定理即可求出;再根据PDQ是等腰直角三角形求出x的值;

(2) 由对称可知AB=BQ=BC,因此BCQ=BQC.根据BQE=BCE=90°,可知EQC=ECQ,从而EQ=EC.再根据CQD=90°可得DQE+CQE=90°, QCE+QDE=90°,而EQC=ECQ, 所以QDE=DQE,从而EQ=ED.易得点E是CD的中点;在RtPDE中,PE= PQ+QE=x+PD=1﹣x,PQ=x,根据勾股定理即可求出x的值.

(3) CDQ为等腰三角形分两种情况:CD为腰,以点C 为圆心,以CD的长为半径画弧,两弧交点即为使得CDQ为等腰三角形的Q点; CD为底边时,作CD的垂直平分线,与的交点即为CDQ为等腰三角形的Q点,则共有 3个Q点,那么也共有3个P点,作辅助线,利用直角三角形的性质求之即得.

试题解析:(1)

(2)证明:在正方形ABCD中,

AB=BC,A=BCD=90°.

Q点为A点关于BP的对称点,

AB=QB,A=PQB=90°,

QB=BC,BQE=BCE,

∴∠BQC=BCQ,

∴∠EQC=EQB﹣CQB=ECB﹣QCB=ECQ,

EQ=EC.

在RtQDC中,

∵∠QDE=90°﹣QCE,

DQE=90°﹣EQC,

∴∠QDE=DQE,

EQ=ED,

CE=EQ=ED,即E为CD的中点.

②∵AP=x,AD=1,

PD=1﹣x,PQ=x,CD=1.

在RtDQC中,

E为CD的中点,

DE=QE=CE=

PE=PQ+QE=x+

解得 x=

(3)CDQ为等腰三角形时x的值为2-,2+

如图,以点B为圆心,以AB的长为半径画弧,以点C为圆心,以CD的长为半径画弧,两弧分别交于Q1,Q3.此时CDQ1CDQ3都为以CD为腰的等腰三角形.作CD的垂直平分线交弧AC于点Q2,此时

CDQ2以CD为底的等腰三形.

以下对此Q1,Q2,Q3.分别讨论各自的P点,并求AP的值.

讨论Q:如图作辅助线,连接BQ1、CQ1,作PQ1BQ1交AD于P,过点Q1,作EFAD于E,交BC于F.

∵△BCQ1为等边三角形,正方形ABCD边长为1,

在四边形ABPQ1中,

∵∠ABQ1=30°

∴∠APQ1=150°

∴△PEQ1为含30°的直角三角形,

PE=

AE=

x=AP=AE-PE=2-

讨论Q2,如图作辅助线,连接BQ2,AQ2,过点Q2作PGBQ2,交AD于P,连接BP,过点Q2作EFCD于E,交AB于F.

EF垂直平分CD,

EF垂直平分AB,

AQ2=BQ2

AB=BQ2

∴△ABQ2为等边三角形.

在四边形ABQP中,

∵∠BAD=BQP=90°, ABQ=60°,

∴∠APE=120°

∴∠EQ2G=DPG=180°-120°=60°

EG=

DG=DE+GE=-1,

PD=1-

x=AP=1-PD=

对Q3,如图作辅助线,连接BQ1,CQ1,BQ3,CQ3,过点Q3作BQ3PQ3,交AD的延长线于P,连接BP,过点Q1,作EFAD于E,此时Q3在EF上,不妨记Q3与F重合.

∵△BCQ1为等边三角形,BCQ3为等边三角形,BC=1,

在四边形ABQ3P中

∵∠ABF=ABC+CBQ3=150°

∴∠EPF=30°

EP=,EF=

AE=

x=AP=AE+PE=+2.

综上所述,CDQ为等腰三角形时x的值为2﹣,2+

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解:(1)30÷50%=60()

∴八年级一共有60人。

(2)等级为“C”的人数为60×15%=9().

等级为“D”的人数为603309=18().

补全折线统计图如下。

(3)等极为“D”的部分所占圆心角的度数为 ×360°=108°,

故答案为:108°.

(4)该班的优秀率×100%=5%.

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B

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a

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处理污水量

240

200

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