【题目】如图①,已知正方形ABCD的边长为1,点P是AD边上的一个动点,点A关于直线BP的对称点是点Q,连接PQ、DQ、CQ、BQ,设AP=x.
(1)BQ+DQ的最小值是_______,此时x的值是_______;
(2)如图②,若PQ的延长线交CD边于点E,并且∠CQD=90°.
①求证:点E是CD的中点; ②求x的值.
(3)若点P是射线AD上的一个动点,请直接写出当△CDQ为等腰三角形时x的值.
【答案】(1),;(2) ①理由详见解析;②;(3) 2﹣或或2+.
【解析】
试题分析:(1)根据两点之间,线段最短可知,点Q在线段BD上时BQ+DQ的值最小,是BD的长度,利用勾股定理即可求出;再根据△PDQ是等腰直角三角形求出x的值;
(2) ①由对称可知AB=BQ=BC,因此∠BCQ=∠BQC.根据∠BQE=∠BCE=90°,可知∠EQC=∠ECQ,从而EQ=EC.再根据∠CQD=90°可得∠DQE+∠CQE=90°, ∠QCE+∠QDE=90°,而∠EQC=∠ECQ, 所以∠QDE=∠DQE,从而EQ=ED.易得点E是CD的中点;②在Rt△PDE中,PE= PQ+QE=x+,PD=1﹣x,PQ=x,根据勾股定理即可求出x的值.
(3) △CDQ为等腰三角形分两种情况:①CD为腰,以点C 为圆心,以CD的长为半径画弧,两弧交点即为使得△CDQ为等腰三角形的Q点; ②CD为底边时,作CD的垂直平分线,与的交点即为△CDQ为等腰三角形的Q点,则共有 3个Q点,那么也共有3个P点,作辅助线,利用直角三角形的性质求之即得.
试题解析:(1),.
(2)①证明:在正方形ABCD中,
AB=BC,∠A=∠BCD=90°.
∵Q点为A点关于BP的对称点,
∴AB=QB,∠A=∠PQB=90°,
∴QB=BC,∠BQE=∠BCE,
∴∠BQC=∠BCQ,
∴∠EQC=∠EQB﹣∠CQB=∠ECB﹣∠QCB=∠ECQ,
∴EQ=EC.
在Rt△QDC中,
∵∠QDE=90°﹣∠QCE,
∠DQE=90°﹣∠EQC,
∴∠QDE=∠DQE,
∴EQ=ED,
∴CE=EQ=ED,即E为CD的中点.
②∵AP=x,AD=1,
∴PD=1﹣x,PQ=x,CD=1.
在Rt△DQC中,
∵E为CD的中点,
∴DE=QE=CE=,
∴PE=PQ+QE=x+,
∴,
解得 x=.
(3)△CDQ为等腰三角形时x的值为2-,,2+.
如图,以点B为圆心,以AB的长为半径画弧,以点C为圆心,以CD的长为半径画弧,两弧分别交于Q1,Q3.此时△CDQ1,△CDQ3都为以CD为腰的等腰三角形.作CD的垂直平分线交弧AC于点Q2,此时
△CDQ2以CD为底的等腰三形.
以下对此Q1,Q2,Q3.分别讨论各自的P点,并求AP的值.
讨论Q:如图作辅助线,连接BQ1、CQ1,作PQ1⊥BQ1交AD于P,过点Q1,作EF⊥AD于E,交BC于F.
∵△BCQ1为等边三角形,正方形ABCD边长为1,
∴,.
在四边形ABPQ1中,
∵∠ABQ1=30°,
∴∠APQ1=150°,
∴△PEQ1为含30°的直角三角形,
∴PE=.
∵AE=,
∴x=AP=AE-PE=2-.
②讨论Q2,如图作辅助线,连接BQ2,AQ2,过点Q2作PG⊥BQ2,交AD于P,连接BP,过点Q2作EF⊥CD于E,交AB于F.
∵EF垂直平分CD,
∴EF垂直平分AB,
∴AQ2=BQ2.
∵AB=BQ2,
∴△ABQ2为等边三角形.
在四边形ABQP中,
∵∠BAD=∠BQP=90°, ∠ABQ=60°,
∴∠APE=120°
∴∠EQ2G=∠DPG=180°-120°=60°,
∴,
∴EG=,
∴DG=DE+GE=-1,
∴PD=1-,
∴x=AP=1-PD=.
③对Q3,如图作辅助线,连接BQ1,CQ1,BQ3,CQ3,过点Q3作BQ3⊥PQ3,交AD的延长线于P,连接BP,过点Q1,作EF⊥AD于E,此时Q3在EF上,不妨记Q3与F重合.
∵△BCQ1为等边三角形,△BCQ3为等边三角形,BC=1,
∴,,
∴.
在四边形ABQ3P中
∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°,
∴∠EPF=30°,
∴EP=,EF=.
∵AE=,
∴x=AP=AE+PE=+2.
综上所述,△CDQ为等腰三角形时x的值为2﹣,,2+.
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【题目】为迎接安顺市文明城市创建工作,某校八年一班开展了“社会主义核心价值观、未成年人基本文明礼仪规范”的知识竞赛活动,成绩分为A、B、C、D四个等级,并将收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.请你根据图中所给出的信息,解答下列各题:
(1)求八年一班共有多少人;
(2)补全折线统计图;
(3)在扇形统计图中等极为“D”的部分所占圆心角的度数为________;
(4)若等级A为优秀,求该班的优秀率.
【答案】(1)60;(2)补图见解析;(3)108°;(4)5%.
【解析】(1)用B等人数除以其所占的百分比即可得到总人数;
(2)用求得的总人数乘以C等所占的百分比即可得到C等的人数,总人数减去A、C等的人数即可求得D等的人数;
(3)用D等的人数除以总人数乘以360°即可得到答案;
(4)用A等的人数除以总人数乘以100%即可得到答案. 解答:
解:(1)30÷50%=60(人)
∴八年级一共有60人。
(2)等级为“C”的人数为60×15%=9(人).
等级为“D”的人数为603309=18(人).
补全折线统计图如下。
(3)等极为“D”的部分所占圆心角的度数为 ×360°=108°,
故答案为:108°.
(4)该班的优秀率×100%=5%.
∴该班的优秀率为5%.
点睛:本题考查统计相关知识.利用拆线图与扇形图得出相关信息是解题的关键.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线L是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)求抛物线的顶点坐标;
(3)设P点是直线L上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标.
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【题目】如图,小华蒙上眼睛投飞镖且中目标(转盘技等分成4个扇形,投在边线上忽略)(直接填写答案)
(1)击中红色区域的概率是 .
(2)击中白色区域的概率是 .
(3)没有击中黄色区域的概率是 .
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【题目】为了更好改善河流的水质,治污公司决定购买10台污水处理设备现有A,B两种型号的设备,其中每台的价格,月处理污水量如下表:经调查:购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元,购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元.
A型 | B型 | |
价格万元台 | a | b |
处理污水量吨月 | 240 | 200 |
求a,b的值;
治污公司经预算购买污水处理设备的资金不超过105万元,你认为该公司有哪几种购买方案;
在的条件下,若每月要求处理污水量不低于2040吨,为了节约资金,请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案.
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【题目】如图,已知A(-4,)、B(2,-4)是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB与轴的交点C的坐标及△AOB的面积;
(3)求方程的解(直接写出答案)
(4)求不等式的解集(直接写出答案)
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,若∠BAC=∠CAM,过点C作直线l垂直于射线AM,垂足为点D.
(1)试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若直线l与AB的延长线相交于点E,⊙O的半径为3,并且∠CAB=30°,求CE的长.
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【题目】为了解我市市民2018年乘坐公交车的每人月均花费情况,相关部门随机调查了1000人的相关信息,并绘制了如图所示的频数直方图,根据图中提供的信息,有下列说法(每组值包括最低值,不包括最高值):①乘坐公交车的月均花费在60元~80元的人数最多;②月均花费在160元(含160元)以上的人数占所调查总人数的10%;③在所调查的1000人中,至少有一半以上的人的月均花费超过75元;④为了让市民享受更多的优惠,相关部门拟确定一个折扣标准,计划使30%左右的人获得优惠,那么可以是乘坐公交车的月均花费达到100元(含100元)以上的人享受折扣.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,点是∠内的一点,过点作于点于点,且.
求证: ;
如图②,点是射线上一点,点是线段上一点,且,若.求线段的长.
如图③,若,将绕点以每秒的速度顺时针旋转,秒后,开始绕点以每秒的速度顺时针旋转,旋转后停止,此时也随之停止旋转。旋转过程中,所在直线与所在直线的交点记为所在直线与所在直线的交点记为.问旋转几秒时,?
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【题目】如图,“和谐号”高铁列车的小桌板收起时,小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA=75厘米,且可以近似看作与地面垂直.展开小桌板使桌面保持水平,此时CB⊥AO,∠AOB=∠ACB=37°,且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度.求小桌板桌面的宽度BC.(参考数据, , )
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