Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．

（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）直线CD与⊙O相切（2）

【解析】解：（1）直线CD与⊙O相切。理由如下：

连接OC，

∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。

∵∠BAC=∠CAM，∴∠OCA=∠CAM。

∴OC∥AM。

∵CD⊥AM ，∴OC⊥CD。

∵OC是⊙O的半径，∴直线CD与⊙O相切。

（2）∵∠CAB=300，∴∠COE=2∠CAB=600。

∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan600=。

（1）要证明过圆上已知点的直线是圆的切线时，只需连接圆心和这点，再证过已知点的半径垂直于这条直线即可。因此，连接CO，根据∠OCA=∠CAM，证明DC∥AD，再根据CD⊥AM，得OC⊥CD，从而证明CD是⊙O的切线。

（2）由题意得∠COE=2∠CAB=600，则在Rt△COE中应用正切函数定义即可求解。.