Question

【题目】已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；

（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）a＞1或a＜﹣4；（3）抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．

【解析】试题分析：（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；

（2）通过解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2，结合图象回答问题．

（3）根据题意得到kx2+（2k+1）x+2-y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．

试题解析：（1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根，

②当k≠0时，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0，

∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）解：令y=0，则kx2+（2k+1）x+2=0，

解关于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣，

∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，

∴k=1．

∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2，

由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．

（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，

则，

解得或．

所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．