Question

12．已知方程：x²-4x+3=0，解决以下问题：
（1）不解方程判断此方程的根的情况；
（2）请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法．
（3）这些方法都是将解一元二次方程转化为解一元一次方程；
（4）尝试解方程：x³-x=0．

Answer 1

分析 （1）把a=1，b=-4，c=3代入△=b²-4ac，然后计算△，最后根据计算结果判断方程根的情况；
（2）①首先把常数项移到方程右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，继而求得答案；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，进而求解即可；
（3）根据解一元二次方程的基本思想是降次即可作答；
（4）利用因式分解法求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵a=1，b=-4，c=3，
∴△=b²-4ac=（-4）²-4×1×3=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）①∵x²-4x+3=0，
∴x²-4x=-3，
∴x²-4x+4=-3+4，
∴（x-2）²=1，
∴x-2=±1，
解得：x₁=3，x₂=1；
②∵x²-4x+3=0，
∴（x-3）（x-1）=0，
∴x-3=0或x-1=0，
解得：x₁=3，x₂=1；

（3）这些方法都是将解一元二次方程转化为解一元一次方程；

（4）∵x³-x=0，
∴x（x+1）（x-1）=0，
∴x=0或x+1=0或x-1=0，
解得：x₁=0，x₂=-1，x₃=1．
故答案为一元二次方程，一元一次方程．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程．