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【题目】如图,在△ABC中,AD是△ABC的高线,CE是△ABC的角平分线,它们相交于点P

1)若∠B40°,∠AEC75°,求证:ABBC

2)若∠BAC90°,AP为△AECEC上中线,求∠B的度数.

【答案】1)证明见解析;(230°.

【解析】

由三角形的内角和可求出∠ECB35°,根据角平分线的定义可求∠ACB70°,进而可求出∠BAC70°,从而结论可证;

2)由AP是△AECEC上的中线可知APPC,从而∠PAC=∠PCA,由CE是∠ACB的平分线,可证∠PAC=∠PCA=∠PCD,从而可求出∠PAC的度数,然后求出∠BAD60°,继而可求出∠B的值.

1)证明:∵∠B40°,∠AEC75°,

∴∠ECB=∠AEC﹣∠B35°,

CE平分∠ACB

∴∠ACB2BCE70°,

BAC180°﹣∠B﹣∠ACB180°﹣40°﹣70°=70°,

∴∠BAC=∠BCA

ABAC

2)∵∠BAC90°,AP是△AECEC上的中线,

APPC

∴∠PAC=∠PCA

CE是∠ACB的平分线,

∴∠PAC=∠PCA=∠PCD

∵∠ADC90°,

∴∠PAC=∠PCA=∠PCD90°÷330°,

∴∠BAD60°,

∵∠ADB90°,

∴∠B90°﹣60°=30°.

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