Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．

（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为 cm（用含x的代数式表示）；

（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；

（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；

（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）x；（2）x=；（3）见解析；（4）1＜x＜．

【解析】试题（1）由已知条件得到∠AQP=45°，求得PQ=AP=2x，由于D为PQ中点，于是得到DQ=x；

（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，由于D为PQ中点，得到DQ=x，求得GP=2x，列方程于是得到结论；

（3）如图②，当0＜x≤时，根据正方形的面积公式得到y=x2；如图③，当＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH=AB=2，根据正方形和三角形面积公式得到y=﹣x2+20x﹣8；如图④，当1＜x＜2时，PQ=4﹣2x，根据三角形的面积公式得到结论；

（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，得到x=1，当Q为BC的中点时，BQ=，得到x=，于是得到结论．

试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，

∴∠AQP=45°，

∴PQ=AP=2x，

∵D为PQ中点，

∴DQ=x，

（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，

∵D为PQ中点，

∴DQ=x，

∴GP=2x，

∴2x+x+2x=4，

∴x=；

（3）如图②，当0＜x≤时，y=S正方形DEFQ=DQ2=x2，

∴y=x2；

如图③，当＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH=AB=2，

∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x，

∴MQ=2CK=4﹣4x，FM=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4，

∴y=S正方形DEFQ﹣S△MNF=DQ2﹣FM2，

∴y=x2﹣（5x﹣4）2=﹣x2+20x﹣8，

∴y=﹣x2+20x﹣8；

如图④，当1＜x＜2时，PQ=4﹣2x，

∴DQ=2﹣x，

∴y=S△DEQ=DQ2，

∴y=（2﹣x）2，

∴y=x2﹣2x+2；

（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，

即2x=2，

∴x=1，

当Q为BC的中点时，BQ=，

PB=1，

∴AP=3，

∴2x=3，

∴x=，

∴边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围为：1＜x＜．