[题目]已知:∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA.OB交于C. D. 求证:PC=PD. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知：∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA、OB交于C、 D. 求证：PC=PD.

【答案】见解析

【解析】

过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE＝PF，然后由同角的余角相等证明∠1＝∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证．

证明：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，

∴∠CFP=∠DEP=90°,

∵OM是∠AOB的平分线，

∴PE=PF,

∵∠1+∠FPD=90°

又∵∠AOB=90°

∴∠FPE=90°，

∴∠2+∠FPD=90°

∴∠1=∠2,

∵在△CFP和△DEP中：，

∴△CFP≌△DEP(ASA)

∴PC=PD.

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特例感知：

（1）在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补三角形”，AM，AN是“顶心距”．

①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE之间的数量关系为AM=　　DE；

②如图3，当∠BAC=120°，BC=6时，AN的长为　　．

猜想论证：

（2）在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．

拓展应用

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