Question

【题目】（生活常识）

射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等。如图 1，MN 是平面镜，若入射光线 AO 与水平镜面夹角为∠1，反射光线 OB 与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2 .

（现象解释）

如图 2，有两块平面镜 OM，ON，且 OM⊥ON，入射光线 AB 经过两次反射，得到反射光线 CD.求证 AB∥CD.

（尝试探究）

如图 3，有两块平面镜 OM，ON，且∠MON =55 ，入射光线 AB 经过两次反射，得到反射光线 CD，光线 AB 与 CD 相交于点 E，求∠BEC 的大小.

（深入思考）

如图 4，有两块平面镜 OM，ON，且∠MON α ，入射光线 AB 经过两次反射，得到反射光线 CD，光线 AB 与 CD 所在的直线相交于点 E，∠BED=β , α 与 β 之间满足的等量关系是 .（直接写出结果）

Answer 1

【答案】【现象解释】见解析；【尝试探究】BEC 70；【深入思考】 2.

【解析】

[现象解释]根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可得出∠DCB+∠ABC=180°，即可证得AB∥CD；

[尝试探究]根据三角形内角和定理求得∠2+∠3=125°，根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用平角的定义得出∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，即可得出∠EBC+BCE=360°-250°=110°，根据三角形内角和定理即可得出∠BEC=180°-110°=70°；

[深入思考]利用平角的定义得出∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，利用外角的性质∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，而∠BOC=∠3-∠2=α，即可证得β=2α．

[现象解释]

如图2，

∵OM⊥ON，

∴∠CON=90°，

∴∠2+∠3=90°

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴∠DCB+∠ABC=180°，

∴AB∥CD；

【尝试探究】

如图3，

在△OBC中，∵∠COB=55°，

∴∠2+∠3=125°，

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=250°，

∵∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，

∴∠EBC+BCE=360°-250°=110°，

∴∠BEC=180°-110°=70°；

【深入思考】

如图4，

β=2α，

理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，

∴∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，

∵∠BOC=∠3-∠2=α，

∴β=2α．