Question

15．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．
（1）求证：∠DAC=∠DCE；
（2）若AB=2，sin∠D=$\frac{1}{3}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；
（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2$\sqrt{2}$，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC²=DE•AD，故此可求得DE=$\sqrt{2}$，于是可求得AE=$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵AD是圆O的切线，
∴∠DAB=90°．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠DAC=∠B．
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB．
又∵∠DCE=∠OCB．
∴∠DAC=∠DCE．
（2）∵AB=2，
∴AO=1．
∵sin∠D=$\frac{1}{3}$，
∴OD=3，DC=2．
在Rt△DAO中，由勾股定理得AD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{A}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，
∴△DEC∽△DCA．
∴$\frac{DC}{AD}=\frac{DE}{DC}$，即$\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{ED}{2}$．
解得：DE=$\sqrt{2}$．
∴AE=AD-DE=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．