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【题目】已知:如图,ABC是边长为3cm的等边三角形,动点PQ同时从AB两点出发,分别沿ABBC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,PQ两点停止运动,设点P的运动时间ts),解答下列各问题:

1)经过秒时,求PBQ的面积;

2)当t为何值时,PBQ是直角三角形?

3)是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是ABC面积的三分之二?如果存在,求出t的值;不存在请说明理由.

【答案】(1);(2)t=1秒或t=2秒时,△PBQ是直角三角形.(3)无论t取何值,四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的

【解析】试题分析:(1)根据路程=速度×时间,求出BQ,AP的值,再求出BP的值,然后利用三角形的面积公式进行解答即可;

(2)①∠BPQ=90°;②∠BQP=90°.然后在直角三角形BQP中根据BP,BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可.

(3)本题可先用△ABC的面积-△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积,即可得出y,t的函数关系式,然后另y等于三角形ABC面积的三分之二,可得出一个关于t的方程,如果方程无解则说明不存在这样的t值,如果方程有解,那么求出的t值即可

试题解析:(1)经过秒时,AP=cm,BQ=cm,

∵△ABC是边长为3cm的等边三角形,

∴AB=BC=3cm,∠B=60°,

∴BP=3-=cm,

∴△PBQ的面积=BPBQsin∠B=×××=

(2)设经过t秒△PBQ是直角三角形,

则AP=tcm,BQ=tcm,

△ABC中,AB=BC=3cm,∠B=60°,

∴BP=(3-t)cm,

△PBQ中,BP=(3-t)cm,BQ=tcm,若△PBQ是直角三角形,则∠BQP=90°或∠BPQ=90°,

当∠BQP=90°时,BQ=BP,

即t=(3-t),t=1(秒),

当∠BPQ=90°时,BP=BQ,

3-t=t,t=2(秒),

答:当t=1秒或t=2秒时,△PBQ是直角三角形.

(3)过P作PM⊥BC于M,

△BPM中,sin∠B=

∴PM=PBsin∠B=(3-t),

∴S△PBQ=BQPM=t(3-t),

∴y=S△ABC-S△PBQ=×32×-×t×(3-t)

=t2-t+

∴y与t的关系式为y=t2-t+

假设存在某一时刻t,使得四边形APQC的面积是△ABC面积的

则S四边形APQC=S△ABC

t2-t+=××32×

∴t2-3t+3=0,

∵(-3)2-4×1×3<0,

∴方程无解,

∴无论t取何值,四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的

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