Question

如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D、求证：=．

Answer 1

解：连接OA，
∵PA是切线，
∴∠PAO=∠PDA=90°，
又∵∠APD=∠OPA，
∴△APD∽OPA，
∴=，
∴PA²=PD•PO，
又∵PA是切线，
∴PA²=PB•PC
∴PA²=PD•PO=PB•PC
又∵∠CPD=∠OPB，
∴△PCD∽△POB
∴
又△POC∽△PBD，则
∴．
分析：所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△POB与△PCD相似证明．PA²=PD•PO=PB•PC，再易证△PCD∽△POB，根据对应边的比相等，即可证得．
点评：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务．