Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．

∴根据勾股定理，得 =5cm．

以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：

①当△AMP∽△ABC时， ，即 = ，

解得t= ；

②当△APM∽△ABC时， ，即 = ，

解得t=0（不合题意，舍去）；

综上所述，当t= 时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似

（2）

解：存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：

假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．

如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，

∴ ，即 = ，

∴PH= t，

∴S=S△ABC﹣S△BPN，

= ×3×4﹣ ×（3﹣t） t，

= （t﹣ ）2+ （0＜t＜2.5）．

∵ ＞0，

∴S有最小值．

当t= 时，S最小值= ．

答：当t= 时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是 ．

【解析】根据勾股定理求得AB=5cm．（1）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式S= （t﹣ ）2+ （0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．