如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,AB=10cm.点P从点A出发,以5cm/s的速度从点A运动到终点B;同时,点Q从点C出发,以3cm/s的速度从点C运动到终点B,连结PQ;过点P作PD⊥AC交AC于点D,将△APD沿PD翻折得到△A′PD,以A′P和PB为邻边作?A′PBE,A′E交射线BC于点F,交射线PQ于点G.设?A′PBE与四边形PDCQ重叠部分图形的面积为Scm2,点P的运动时间为ts.
(1)当t为何值时,点A′与点C重合;
(2)用含t的代数式表示QF的长;
(3)求S与t的函数关系式;
(4)请直接写出当射线PQ将?A′PBE分成的两部分图形的面积之比是1:3时t的值.
(1)t=1(2)当0<t≤时,QF=6﹣9t;当<t<2时,QF=9t﹣6.
当0<t≤时,S=12t2;当<t≤1时,S=﹣42t2+72t﹣24:当1<t<2时,S=6t2﹣24t+24.
t的值为秒或秒.
解析试题分析:(1)易证△ADP∽△ACB,从而可得AD=4t,由折叠可得AA′=2AD=8t,由点A′与点C重合可得8t=8,从而可以求出t的值.
(2)根据点F的位置不同,可分点F在BQ上(不包括点B)、在CQ上(不包括点Q)、在BC的延长线上三种情况进行讨论,就可解决问题.
(3)根据点F的位置不同,可分点F在BQ上(不包括点B)、在CQ上(不包括点Q)、在BC的延长线上三种情况进行讨论,就可解决问题.
(4)可分①S△A′PG:S四边形PBEG=1:3,如图7,②S△BPN:S四边形PNEA′=1:3,如图8,两种情况进行讨论,就可解决问题.
试题解析:(1)如图1,
由题可得:PA′=PA=5t,CQ=3t,AD=A′D.
∵∠ACB=90°,AC=8,AB=10,∴BC=6.
∵∠ADP=∠ACB=90°,
∴PD∥BC.
∴△ADP∽△ACB.
∴==.
∴==.
∴AD=4t,PD=3t.
∴AA′=2AD=8t.
当点A′与点C重合时,AA′=AC.
∴8t=8.
∴t=1.
(2)①当点F在线段BQ上(不包括点B)时,如图1,
则有CQ≤CF<CB.
∵四边形A′PBE是平行四边形,
∴A′E∥BP.
∴△CA′F∽△CAB.
∴=.
∴=.
∴CF=6﹣6t.
∴3t≤6﹣6t<6.
∴0<t≤.
此时QF=CF﹣CQ=6﹣6t﹣3t=6﹣9t.
②当点F在线段CQ上(不包括点Q)时,如图2,
则有0≤CF<CQ.
∵CF=6﹣6t,CQ=3t,
∴0≤6﹣6t<3t.
∴<t≤1.
此时QF=CQ﹣CF=3t﹣(6﹣6t)=9t﹣6.
③当点F在线段BC的延长线上时,如图3,
则有AA′>AC,且AP<AB.
∴8t>8,且5t<10.
∴1<t<2.
同理可得:CF=6t﹣6.
此时QF=QC+CF=3t+6t﹣6=9t﹣6.
综上所述:当0<t≤时,QF=6﹣9t;当<t<2时,QF=9t﹣6.
(3)①当0<t≤时,
过点 A′作A′M⊥PG,垂足为M,如图4,
则有A′M=CQ=3t.
∵==,==,
∴=,
∵∠PBQ=∠ABC,
∴△BPQ∽△BAC.
∴∠BQP=∠BCA.
∴PQ∥AC.
∵AP∥A′G.
∴四边形APGA′是平行四边形.
∴PG=AA′=8t.
∴S=S△A′PG=PG•A′M
=×8t×3t=12t2.
②当<t≤1时,
过点 A′作A′M⊥PG,垂足为M,如图5,
则有A′M=QC=3t,PQ=DC=8﹣4t,PG=AA′=8t,QG=PG﹣PQ=12t﹣8,QF=9t﹣6..
∴S=S△A′PG﹣S△GQF
=PG•A′M﹣QG•QF
=×8t×3t﹣×(12t﹣8)×(9t﹣6)
=﹣42t2+72t﹣24.
③当1<t<2时,如图6,
∵PQ∥AC,PA=PA′
∴∠BPQ=∠PAA′,∠QPA′=∠PA′A,∠PAA′=∠PA′A.
∴∠BPQ=∠QPA′.
∵∠PQB=∠PQS=90°,
∴∠PBQ=∠PSQ.
∴PB=PS.
∴BQ=SQ.
∴SQ=6﹣3t.
∴S=S△PQS=PQ•QS=×(8﹣4t)×(6﹣3t)=6t2﹣24t+24.
综上所述:当0<t≤时,S=12t2;当<t≤1时,S=﹣42t2+72t﹣24
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
2013年5月26日,中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军,成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系,则羽毛球飞出的水平距离为 米.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场,设围成的矩形一边长为x米,面积为y平方米.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当x为何值时,围成的养鸡场面积为60平方米?
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场?如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A(﹣2,0),B(8,0)两点,与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,作菱形BDEC,使其对角线在坐标轴上,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线向上平移n个单位,使其顶点在菱形BDEC内(不含菱形的边),求n的取值范围;
(3)当点P在线段OB上运动时,直线l交BD于点M.试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,并说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线图象经过A(-1,0),B(4,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若C(m,m-1)是抛物线上位于第一象限内的点,D是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),过点D分别作DE∥BC交AC于E,DF∥AC交BC于F.
①求证:四边形DECF是矩形;
②连结EF,线段EF的长是否存在最小值?若存在,求出EF的最小值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,在直角坐标平面内,直线与轴和轴分别交于A、B两点,二次函数的图象经过点A、B,且顶点为C.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求的值;
(3)若P是这个二次函数图象上位于轴下方的一点,且ABP的面积为10,求点P的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,抛物线:y=ax2+bx+4与x轴交于点A(-2,0)和B(4,0)、与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)T是抛物线对称轴上的一点,且△ACT是以AC为底的等腰三角形,求点T的坐标;
(3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行.当点M原点时,点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动,当点M到达抛物线的对称轴时,两点停止运动.过点M的直线l⊥轴,交AC或BC于点P.求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式,并求出S的最大值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,直线与x轴,y轴分别相交于点B,点C,经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线.
(1)求A点的坐标及该抛物线的函数表达式;
(2)求出∆PBC的面积;
(3)请问在对称轴右侧的抛物线上是否存在点Q,使得以点A、B、C、Q所围成的四边形面积是∆PBC的面积的?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com