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【题目】在平面直角坐标中,抛物线y=ax2﹣3ax﹣10a(a0)分别交x轴于点A、B(点A在点B左侧),交y轴于点C,且OB=OC.

(1)求a的值;

(2)如图1,点P位抛物线上一动点,设点P的横坐标为t(t0),连接AC、PA、PC,PAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式;

(3)如图2,在(2)的条件下,设对称轴l交x轴于点H,过P点作PDl,垂足为D,在抛物线、对称轴上分别取点E、F,连接DE、EF,使PD=DE=EF,连接AE交对称轴于点G,直线y=kx﹣k(k0)恰好经过点G,将直线y=kx﹣k沿过点H的直线折叠得到对称直线m,直线m恰好经过点A,直线m与第四象限的抛物线交于另一点Q,若=,求点Q的坐标.

【答案】(1)a=(2)S= t2+t;(3)Q(,﹣).

【解析】

试题分析:(1)令y=0,求出x轴交点坐标,再用OB=OC求出C点坐标,代入抛物线方程即可;(2)先求出直线AC解析式,再用t表示出PN代入面积公式计算即可;(3)依次求出直线AE的解析式为y=﹣x﹣2,直线WG的解析式为y=3x﹣8,直线KH的解析式为y=﹣2x+3,直线AV的解析式为y=﹣x﹣,即可.

试题解析:(1)令y=0,则ax2﹣3ax﹣10a=0,

即a(x+2)(x﹣5)=0,

x1=﹣2,x2=5,

A(﹣2,0),B(5,0),

OB=5,

OB=OC,

OC=5,

C(0,﹣5),

﹣5=﹣10a,

a=

(2)如图1,

由(1)可知知抛物线解析式为y=x2x﹣5,

设直线AC的解析式为:y=k1x+b,把A、C两点坐标代入得:

,解得:

y=﹣x﹣5,

点P的横坐标为t,则P(t, t2t﹣5),

过点P作PNx轴交AC于点N,

把y=x2x﹣5,代入直线AC解析式y=﹣x﹣5中,

解得xN=﹣t2+t,

N(﹣t2+t, t2t﹣5),

PN=t﹣(﹣t2+t)=t2+t,

S=SANP+SCNP=PN×AJ+PN×AI

=PN×OI+PN×CI

=PN(OI+CI)

=PN×OC

=t2+t,

(3)由y=x2x﹣5=(x﹣2

得抛物线的对称轴为直线x=,顶点坐标为(,﹣),

设DP=5n,DF=8n,

DE=EP=5n,过点E作EMl于点M,则DM=FM=DF=4n,

在RtDME中,EM=3n,

点P的横坐标为5n+,点E横坐标为3n+

yP=(5n+2=n2

yE=(3n+2=n2

D( n2),M( n2),

DM=n2﹣(n2)=8n2

8n2=4n,

n=

E(3,﹣5),

A(﹣2,0),E(3,﹣5),

直线AE的解析式为y=﹣x﹣2,

令x=,则y=﹣x﹣2=﹣﹣2=﹣

G(,﹣),

直线y=kx﹣k(k0)恰好经过点G,

=k﹣k,

k=3,

直线WG的解析式为y=3x﹣8,

如图2,

点A关于HK的对称点A′(m,3m﹣8),

A(﹣2,0),H(,0),

AH=

HS垂直平分AA′,

A′H=AH=

过A′作A′Rx轴于R,

在RtA′HR中,A′R2+HR2=A′H2

(3m﹣8)2+(m﹣2=

m1=(舍),m2=

A′(),

tanA′AR=

∵∠HAS+AHS=OKH+AHS=90°,

tanOKH=tanA′AR=

tanOKH=

OK=3,

K(0,3),

直线KH的解析式为y=﹣2x+3,

V(,﹣),

A(﹣2,0),

直线AV的解析式为y=﹣x﹣

设Q(s, s2s﹣5),代入y=﹣x﹣中,

s2s﹣5=﹣s﹣

s1=﹣2(舍),s2=

Q(,﹣).

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