【题目】在平面直角坐标中,抛物线y=ax2﹣3ax﹣10a(a>0)分别交x轴于点A、B(点A在点B左侧),交y轴于点C,且OB=OC.
(1)求a的值;
(2)如图1,点P位抛物线上一动点,设点P的横坐标为t(t>0),连接AC、PA、PC,△PAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(3)如图2,在(2)的条件下,设对称轴l交x轴于点H,过P点作PD⊥l,垂足为D,在抛物线、对称轴上分别取点E、F,连接DE、EF,使PD=DE=EF,连接AE交对称轴于点G,直线y=kx﹣k(k≠0)恰好经过点G,将直线y=kx﹣k沿过点H的直线折叠得到对称直线m,直线m恰好经过点A,直线m与第四象限的抛物线交于另一点Q,若=,求点Q的坐标.
【答案】(1)a=;(2)S= t2+t;(3)Q(,﹣).
【解析】
试题分析:(1)令y=0,求出x轴交点坐标,再用OB=OC求出C点坐标,代入抛物线方程即可;(2)先求出直线AC解析式,再用t表示出PN代入面积公式计算即可;(3)依次求出直线AE的解析式为y=﹣x﹣2,直线WG的解析式为y=3x﹣8,直线KH的解析式为y=﹣2x+3,直线AV的解析式为y=﹣x﹣,即可.
试题解析:(1)令y=0,则ax2﹣3ax﹣10a=0,
即a(x+2)(x﹣5)=0,
∴x1=﹣2,x2=5,
∴A(﹣2,0),B(5,0),
∴OB=5,
∵OB=OC,
∴OC=5,
∴C(0,﹣5),
∴﹣5=﹣10a,
∴a=;
(2)如图1,
由(1)可知知抛物线解析式为y=x2﹣x﹣5,
设直线AC的解析式为:y=k1x+b,把A、C两点坐标代入得:
,解得:,
∴y=﹣x﹣5,
∵点P的横坐标为t,则P(t, t2﹣t﹣5),
过点P作PN∥x轴交AC于点N,
把y=x2﹣x﹣5,代入直线AC解析式y=﹣x﹣5中,
解得xN=﹣t2+t,
∴N(﹣t2+t, t2﹣t﹣5),
∴PN=t﹣(﹣t2+t)=t2+t,
S=S△ANP+S△CNP=PN×AJ+PN×AI
=PN×OI+PN×CI
=PN(OI+CI)
=PN×OC
=t2+t,
(3)由y=x2﹣x﹣5=(x﹣)2﹣,
得抛物线的对称轴为直线x=,顶点坐标为(,﹣),
∵,
∴设DP=5n,DF=8n,
∵DE=EP=5n,过点E作EM⊥l于点M,则DM=FM=DF=4n,
∴在Rt△DME中,EM=3n,
∴点P的横坐标为5n+,点E横坐标为3n+,
∴yP=(5n+﹣)2﹣=n2﹣,
yE=(3n+﹣)2﹣=n2﹣
∴D(, n2﹣),M(, n2﹣),
∴DM=n2﹣﹣(n2﹣)=8n2,
∴8n2=4n,
∴n=,
∴E(3,﹣5),
∵A(﹣2,0),E(3,﹣5),
∴直线AE的解析式为y=﹣x﹣2,
令x=,则y=﹣x﹣2=﹣﹣2=﹣,
∴G(,﹣),
∵直线y=kx﹣k(k≠0)恰好经过点G,
∴﹣=k﹣k,
∴k=3,
∴直线WG的解析式为y=3x﹣8,
如图2,
点A关于HK的对称点A′(m,3m﹣8),
∵A(﹣2,0),H(,0),
∴AH=,
∵HS垂直平分AA′,
∴A′H=AH=,
过A′作A′R⊥x轴于R,
在Rt△A′HR中,A′R2+HR2=A′H2,
∴(3m﹣8)2+(m﹣)2=,
∴m1=(舍),m2=,
∴A′(,),
∴tan∠A′AR=,
∵∠HAS+∠AHS=∠OKH+∠AHS=90°,
∴tan∠OKH=tan∠A′AR=,
∴tan∠OKH=,
∴OK=3,
∴K(0,3),
∴直线KH的解析式为y=﹣2x+3,
∵,
∴,
∴V(,﹣),
∵A(﹣2,0),
∴直线AV的解析式为y=﹣x﹣,
设Q(s, s2﹣s﹣5),代入y=﹣x﹣中,
s2﹣s﹣5=﹣s﹣,
∴s1=﹣2(舍),s2=,
∴Q(,﹣).
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【题目】(本题满分10分)定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=3,MN=5,求BN的长;
(2)如图2,在Rt△ABC中,AC=BC,点M,N在斜边AB上,MCN=45,求证:点M,N是线段AB的勾股分割点.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足表格:
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | … |
y | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣3 | ﹣6 | ﹣11 | … |
则该函数图象的顶点坐标为( )
A.(﹣3,﹣3)
B.(﹣2,﹣2)
C.(﹣1,﹣3)
D.(0,﹣6)
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【题目】下列各组中的四条线段成比例的是( )
A.a=1,b=3,c=2,d=4
B.a=4,b=6,c=5,d=10
C.a=2,b=4,c=3,d=6
D.a=2,b=3,c=4,d=1
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【题目】计算下列各题.
(1)﹣1.3+(﹣1.7)﹣(﹣13)
(2)﹣30×( ﹣ ﹣ )
(3)(﹣2)2×3+2×(﹣32)
(4)﹣2×( ﹣ )+|﹣7|.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,O是AC的中点,连接DO,过点C作CE∥DA,交DO的延长线于点E,连接AE.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)若F是CE上的动点(点F不与C、E重合),连接AF、DF、BE,请直接写出图2中与四边形ABDF面积相等的所有的三角形和四边形(四边形ABDF除外)
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【题目】定义一种对正整数n的“F运算”: (1.)当n为奇数时,结果为3n+5;
(2.)当n为偶数时,结果为 (其中k是使 为奇数的正整数),并且运算重复进行,
例如,取n=26,则:
若n=449,则第2014次“F运算”的结果是
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【题目】要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛,对这两名运动员进行了10次测试,经过数据分析,甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05(s),甲的方差为0.024(s2),乙的方差为0.008(s2),则这10次测试成绩比较稳定的是 运动员.(填“甲”或“乙”)
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【题目】下列关于变量x,y的关系式中:①3x-2y=5;②y=|x|;③2x-y2=10.其中y是x的函数的是( )
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
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