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【题目】(本题满分10)定义:如图1,点MN把线段AB分割成AMMNBN,若以AMMNBN为边的三角形是一个直角三角形,则称点MN是线段AB的勾股分割点.

(1)已知点MN是线段AB的勾股分割点,若AM=3,MN=5,BN的长;

(2)如图2,Rt△ABC,AC=BC,点MN在斜边ABMCN=45,求证:点MN是线段AB的勾股分割点.

【答案】(1)MN最长时,BN=4;

BN最长时,BN=;…………4

如图,过点AAD⊥AB,AD=BN

ADC≌△BNC,∴CD=CN,∠ACD=∠BCN,

再证:∠MCD=∠BCM,

△MDC≌△MNC,∴MD=MN

Rt△MDA

MN是线段AB的勾股分割点.…………10

【解析】试题分析:(1)分两种切线利用勾股定理即可解决问题;

(2)如图,过点AADAB,且AD=BN.只要证明ADC≌△BNC,推出CD=CN,ACD=BCN,再证明MDC≌△MNC,可得MD=MN,由此即可解决问题.

试题解析:(1)当MN最长时,BN==4;

BN最长时,BN==

(2)如图,过点AADAB,且AD=BN,

AD=BN,DAC=B=45°,AC=BC,

ADCBNC,

CD=CN,ACD=BCN,

∵∠MCN=45°,

∴∠DCA+ACM=ACM+BCN=45°,

∴∠MCD=BCM,

MDCMNC,

MD=MN,

RtMDA,AD2+AM2=DM2

BN2+AM2=MN2

∴点M,N是线段AB的勾股分割点。

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