Question

5．如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN=2∠BAC，过点A作AC的垂线交CN于点P．
（1）若∠APC=30°，求证：AB=AP；
（2）若AP=8，BP=16，求AC的长；
（3）若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M．你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小．

Answer 1

分析 （1）由∠P=30°，∠CAP=90°得∠ACP=60°，∠BAC=30°，所以∠ABP=30°，进而可得∠ABP=∠P，即AB=AP；
（2）设AC=x，由勾股定理建立方程得x²+8²=（16-x）²求出x的值即可求出AC的长；
（3）∠AMP的大小不发生变化，由∠AMP=∠B+∠APC=$\frac{1}{2}$∠ACP+$\frac{1}{2}$∠APC=$\frac{1}{2}$（∠ACP+∠APC）=$\frac{1}{2}$90°=45°进而可得结论．

解答 解：
（1）∵AC⊥AP，
∴∠CAP=90°，
∵∠P=30°，
∴∠ACP=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠ABP=30°，
∴∠ABP=∠P，
∴AB=AP；
（2）设AC=x，在Rt△ACP中，由勾股定理建立方程得x²+8²=（16-x）²
解得x=6，
所以AC=6；
（3）∠AMP的大小不发生变化，理由如下：
∵∠AMP=∠B+$\frac{1}{2}$∠APC
=$\frac{1}{2}$∠ACP+$\frac{1}{2}$∠APC，
=$\frac{1}{2}$（∠ACP+∠APC）=$\frac{1}{2}$90°
=45°，
∴是一个定值，即不发生变化．

点评 本题考查了勾股定理的运用、等腰三角形的判定和性质以及解一元二次方程，正确记忆勾股定理是解题关键．