Question

【题目】已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1 ， x2 ， 且x12+x22=10，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：△=（a+3）2﹣4（a+1）

=a2+6a+9﹣4a﹣4

=a2+2a+5

=（a+1）2+4，

∵（a+1）2≥0，

∴（a+1）2+4＞0，即△＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：根据题意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，

∵x12+x22=10，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10，

∴（a+3）2﹣2（a+1）=10，

整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+ ，a2=﹣2﹣ ，

即a的值为﹣2+ 或﹣2﹣ ．

【解析】（1）先求得一元二次方程根的判别式△=a2+2a+5，然后再利用配方法可求得△＞0，从而可得到问题的答案；
（2）先依据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，然后依据平方公式可得到（x1+x2）2﹣2x1x2=10，从而可得到关于a的一元二次方程，于是可求得a的值.
【考点精析】掌握求根公式和根与系数的关系是解答本题的根本，需要知道根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．