Question

16．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，以下几个结论：
①∠AEB=∠BEF；②△BEF是等腰三角形；③△DEG与△BEF相似；④四边形ABCD的面积为56．
则以上正确的有（　　）

• A． ①③
• B． ②③④
• C． ①②
• D． ①②④

Answer 1

分析 由四边形ABCD为矩形，得到对边平行且相等，由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由BE的垂直平分线为HF，得到EF=BF，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠AEB=∠BEF，选项①正确；由EF=BF得到三角形BEF为等腰三角形，选项②正确；根据题意得到三角形BEF不为直角三角形，而三角形DEG为直角三角形，显然不相似，选项③错误；由G为CD中点，得到一对边相等，再由一对直角相等，对应角相等，利用ASA得到三角形EDG与三角形CGF全等，利用全等三角形对应边相等得到ED=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，在直角三角形DEG中，利用勾股定理表示出EG，进而得到EF，由EF=BF列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出BC的长，求出矩形ABCD面积，即可对于选项④做出判断．

解答 解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，AB=DC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，
∴EF=BF，
∴∠BEF=∠EBF，
∴∠AEB=∠BEF，选项①正确；
∵EF=BF，
∴△BEF为等腰三角形，选项②正确；
由△DEF为直角三角形，△BEF不为直角三角形，得到两个三角形不可能相似，选项③错误；
∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8，
∴CG=DG=$\frac{1}{2}$×8=4，
在△DEG和△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠DCF=90°}\\{CG=DG}\\{∠DGE=∠CGF}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE=CF，EG=FG，
设DE=x，
则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中，EG=$\sqrt{D{E}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
∴EF=2$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴4+2x=2$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
解得：x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7，
则矩形ABCD面积为56，选项④正确．
故选D．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．