Question

2．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，试猜想当△ABC满足什么条件时使四边形AECF是正方形，请直接写出你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．
（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
（3）利用已知条件及正方形的判定方法解答．

解答 解：（1）如图1中，

∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）结论：当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
理由：如图2中，

如图AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB，
同理，∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACG，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACG）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴四边形AECF是矩形．

（3）结论：当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形
理由：∵∠BCA=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AOM=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．．

点评 本题考查正方形的判定和性质、矩形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住各种特殊四边形的性质和判定方法，属于中考常考题型．