Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为______．

Answer 1

【答案】60°

【解析】

此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.

分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2，连接C1C2，分别交AD，AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：

在AD、AB上任意取E1、F1两点

根据对称性：

∴CE=C1E，CE1=C1E1，CF=C2F，CF1=C2F1

∴△CEF的周长= CE＋EF＋CF= C1E＋EF＋C2F= C1C2

而△CE1F1的周长= CE1＋E1F1＋CF1= C1E1＋E1F1＋C2F1

根据两点之间线段最短，故C1E1＋E1F1＋C2F1＞C1C2

∴△CEF的周长的最小为：C1C2.

∵∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°

∴∠DCB=360°－∠A－∠ADC－∠ABC=120°

∴∠CC1C2＋∠CC2C1=180°－∠DCB=60°

根据对称性：∠CC1C2=∠ECD，∠CC2C1=∠FCB

∴∠ECD＋∠FCB=∠CC1C2＋∠CC2C1=60°

∴∠ECF=∠DCB－（∠ECD＋∠FCB）=60°

故答案为：60°