Question

2．（1）如图1，平行四边形ABCD中，AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．求证：BM=CN．
（2）如图2，平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，求证：AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA²．
（3）如图，PT是△PQR的中线，已知：PQ=7，QR=6，RP=5．求：PT的长度．

Answer 1

分析 （1）由AAS证明△ABM≌△DCN，即可得出结论；
（2）作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，在Rt△DBN和Rt△DCN中，由勾股定理得BD²-CD²=BN²-CN²=BC²+2BC•CN，同理：AC²-AB²=CM²-BM²=BC²-2BC•BM，由BM=CN，AD=BC，即可得出结论；
（3）延长PT至S，使PT=TS，连接QS，RS，由PT是△PQR的中线，证明四边形PQSR为平行四边形，得出PQ=RS=7，RP=QS=5，由（2）得：PS²+RQ²=PQ²+QS²+SR²+PR²，即可求出PT．

解答 （1）证明：∵AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，
∴∠AMB=∠DNC=90°，
∵在平行四边形ABCD中，AB=DC，AB∥DC，
∴∠B=∠DCN，
∵∠BMA=∠CND=90°，
在△ABM和△DCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DCN}&{\;}\\{∠AMB=∠DNC}&{\;}\\{AB=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCN（AAS），
∴BM=CN；                       
（2）证明：作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，如图2所示：
在Rt△DBN和Rt△DCN中，根据勾股定理得：BD²-CD²=BN²-CN²=BC²+2BC•CN，
同理：AC²-AB²=CM²-BM²=BC²-2BC•BM，
∵BM=CN，AD=BC，
∴AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA²；             
（3）解：延长PT至S，使得PT=TS，连接QS，RS，如图3所示：
∵PT是△PQR的中线，
∴QT=RT，
∴四边形PQSR为平行四边形，
∴PQ=RS=7，RP=QS=5，
由（2）得：PS²+RQ²=PQ²+QS²+SR²+PR²，
∴（2PT）²+6²=7²+5²+7²+5²，
∴PT=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键．