Question

16．已知?ABCD的对角线AC，BD交于点O，M为OD上一点，过点M的直线分别交AD，CD于P、Q两点，与BA，BC的延长线于E，F两点．

（1）如图1，若M为OD的中点，EF∥AC，求证：PE=FQ；
（2）如图2，若M为OD的中点，EF与AC不平行时，求证：PE+FQ=2PQ；
（3）如图3，若BM=nDM，EF与AC不平行时，求PE，PF，PQ三者之间满足的等量关系（请用含n的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形EACQ和ACFP是平行四边形，得EQ=FP，利用等式的性质可以得出结论；
（2）过O点作ON∥AD交EF于N，则ON是梯形CFPA的中位线，由梯形中位线的性质定理得出AP+CF=2ON，再利用AAS证明△OMN≌△DMP，得出ON=PD，则AP+CF=2PD．然后由CF∥PD，根据平行线分线段成比例定理得出：$\frac{QF}{QP}$=$\frac{CF}{PD}$和$\frac{PE}{PQ}$=$\frac{AP}{PD}$，将两个式子相加，化简整理后得出QF+PE=2PQ；
（3）若BM=nDM，则有$\frac{OM}{DM}=\frac{n-1}{2}$，所以$\frac{ON}{PD}=\frac{OM}{DM}=\frac{n-1}{2}$，结合（2）即可得到答案．

解答 证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AC∥EF，
∴四边形EACQ是平行四边形，
∴AC=EQ，
同理可得：四边形ACFP是平行四边形，
∴AC=FP，
∴EQ=FP，
∴EQ-PQ=FP-PQ，
即PE=FQ；
（2）若EF与AC不平行，如图2，过O点作ON∥AD交EF于N，
则ON是梯形CFPA的中位线，
则AP+CF=2ON．
易证△OMN≌△DMP，
∴ON=PD，
∴AP+CF=2PD，
∵CF∥PD，
∴$\frac{QF}{QP}$=$\frac{CF}{PD}$，
∵DQ∥AE，
∴$\frac{PE}{PQ}$=$\frac{AP}{PD}$，
∴$\frac{QF}{QP}+\frac{PE}{QP}$=$\frac{CF}{PD}+\frac{AP}{PD}$，
即：$\frac{QF+PE}{PQ}$=$\frac{CF+AP}{PD}$=$\frac{2PD}{PD}$=2，
∴PE+FQ=2PQ；
（3）若BM=nDM，则有$\frac{OM}{DM}=\frac{n-1}{2}$，
∵ON∥PD，
∴$\frac{ON}{PD}=\frac{OM}{DM}=\frac{n-1}{2}$，
由（2）知道，$\frac{QF+PE}{PQ}=\frac{CF+AP}{PD}$=$\frac{2ON}{PD}$=n-1，
∴$\frac{QF}{QP}+\frac{PE}{QP}$=$\frac{CF}{PD}+\frac{AP}{PD}$，
即：$\frac{QF+PE}{PQ}$=$\frac{CF+AP}{PD}$=$\frac{2ON}{PD}$=n-1，
∴QF+PE=（n-1）PQ，
∵QF=PF-PQ，
∴PF-PQ+PE=nPQ-PQ，
∴PF+PE=nPQ．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，梯形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，有一定难度；（2）中正确地作出辅助线，利用平行线分线段成比例定理得出比例式是解题的关键．