Question

在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备用每个6元的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价（整数）x（元/个）之间的对应关系如图所示：
（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）若购进一批许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润；
（3）若销售许愿瓶所得利润不低于1350元，试结合函数图象，确定这种许愿瓶的销售单价的范围．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据图象可以得出设y与x之间的函数关系为y=kx+b，直接运用待定系数法求出其解就可以了；
（2）根据条件建立不等式求出x的取值范围，再根据利润等于售价-进价表示出总利润，由二次函数的性质就可以求出结论；
（3）先根据条件建立一元二次不等式，求出一元二次不等式的解即可求出销售单价的范围．

解答：解：（1）设y与x之间的函数关系为y=kx+b，由题意，得

300=10k+b 240=12k+b

，
解得：

k=-30 b=600

，
故y与x之间的函数关系式为：y=-30x+600；

（2）由题意，得
6（-30x+600）≤900，
解得：x≥15，
设销售这种许愿瓶的利润为W元，由题意，得
W=（x-6）（-30x+600），
=-30x²+780x-3600，
∴图象对称轴为x=-

780

2×(-30)

=13，
∵a=-30＜0，
∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，
∴当x=15时，w_最大=1350．

（3）由题意，得
-30x²+780x-3600≥1350，
x²-26x+165≤0，
∴（x-11）（x-15）≤0
∴①

x-11≤0 x-15≥0

或②

x-11≥0 x-15≤0

，
解①得，原不等式组无解，
解②得，原不等式组的解集为：11≤x≤15，
∴这种许愿瓶的销售单价的范围为：11≤x≤15．

点评：本题是一道二次函数的综合运用试题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，一元二次不等式的解法的运用，解答时求出利润的解析式是关键．