【题目】如图1,抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A(﹣5,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C(0,﹣5),点P是抛物线上的动点,连接PA、PC,PC与x轴交于点D.
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)若点P的坐标为(﹣2,3),请求出此时△APC的面积;
(3)过点P作y轴的平行线交x轴于点H,交直线AC于点E,如图2.
①若∠APE=∠CPE,求证: ;
②△APE能否为等腰三角形?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】
(1)
解:解:设抛物线解析式为y=a(x+5)(x+1),
把C(0,﹣5)代入得a51=﹣5,解得a=﹣1,
所以抛物线解析式为y=﹣(x+5)(x+1),即y=﹣x2﹣6x﹣5
(2)
解:解:设直线AC的解析式为y=mx+n,
把A(﹣5,0),C(0,﹣5)代入得 ,解得 ,
∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5,
作PQ∥y轴交AC于Q,如图1,
则Q(﹣2,﹣3),
∴PQ=3﹣(﹣3)=6,
∴S△APC=S△APQ+S△CPQ= PQ5= ×6×5=15;
(3)
解:①证明:∵∠APE=∠CPE,
而PH⊥AD,
∴△PAD为等腰三角形,
∴AH=DH,
设P(x,﹣x2﹣6x﹣5),则OH=﹣x,OD=﹣x﹣DH,
∵PH∥OC,
∴△PHD∽△COD,
∴PH:OC=DH:OD,即(﹣x2﹣6x﹣5):5=DH:(﹣x﹣DH),
∴DH=﹣x﹣ ,
而AH+OH=5,
∴﹣x﹣x﹣ =5,
整理得2x2+17x+35=0,解得x1=﹣ ,x2=﹣5(舍去),
∴OH= ,
∴AH=5﹣ = ,
∵HE∥OC,
∴ = = ;
②能.设P(x,﹣x2﹣6x﹣5),则E(x,﹣x﹣5),
当PA=PE,因为∠PEA=45°,所以∠PAE=45°,则点P与B点重合,此时P点坐标为(﹣1,0);
当AP=AE,如图2,
则PH=HE,即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|,解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5(舍去),x2=0(舍去);解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5(舍去),x2=﹣2,此时P点坐标为(﹣2,3);
当E′A=E′P,如图2,AE′= E′H′= (x+5),P′E′=﹣x﹣5﹣(﹣x2﹣6x﹣5)=x2+5x,则x2+5x= (x+5),解得x1=﹣5(舍去),x2= ,此时P点坐标为( ,﹣7﹣6 ),
综上所述,满足条件的P点坐标为(﹣1,0),(﹣2,3),( ,﹣7﹣6 )
【解析】(1)设交点式为y=a(x+5)(x+1),然后把C点坐标代入求出a即可;(2)先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5,作PQ∥y轴交AC于Q,如图1,由P点坐标得到Q(﹣2,﹣3),则PQ=6,然后根据三角形面积公式,利用S△APC=S△APQ+S△CPQ进行计算;(3)①由∠APE=∠CPE,PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形,则AH=DH,设P(x,﹣x2﹣6x﹣5),则OH=﹣x,OD=﹣x﹣DH,通过证明△PHD∽△COD,利用相似比可表示出DH=﹣x﹣ ,则﹣x﹣x﹣ =5,则解方程求出x可得到OH和AH的长,然后利用平行线分线段成比例定理计算出 = ; ②设P(x,﹣x2﹣6x﹣5),则E(x,﹣x﹣5),分类讨论:当PA=PE,易得点P与B点重合,此时P点坐标为(﹣1,0);当AP=AE,如图2,利用PH=HE得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|,当E′A=E′P,如图2,AE′= E′H′= (x+5),P′E′=x2+5x,则x2+5x= (x+5),然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标.本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定;会运用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质,能运用相似比计算线段的长;会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.
(1)若∠A=40°,求∠EBC的度数;
(2)若AD=5,△EBC的周长为16,求△ABC的周长.
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【题目】如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.
(1)求证:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.
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【题目】在图“书香八桂,阅读圆梦”读数活动中,某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目(每人只参加一个项目),九(2)班全班同学都参加了比赛,该班班长为了了解本班同学参加各项比赛的情况,收集整理数据后,绘制以下不完整的折线统计图(图1)和扇形统计图(图2),根据图表中的信息解答下列各题:
(1)请求出九(2)全班人数;
(2)请把折线统计图补充完整;
(3)南南和宁宁参加了比赛,请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率.
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【题目】在矩形ABCD中,∠B的角平分线BE与AD交于点E,∠BED的角平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC=(结果保留根号)
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【题目】如图的七边形ABCDEFG中,AB、ED的延长线相交于O点.若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°,则∠BOD的度数是( )
A. 400 B. 450 C. 500 D. 600
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