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【题目】如图1,抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A(﹣5,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C(0,﹣5),点P是抛物线上的动点,连接PA、PC,PC与x轴交于点D.

(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)若点P的坐标为(﹣2,3),请求出此时△APC的面积;
(3)过点P作y轴的平行线交x轴于点H,交直线AC于点E,如图2.
①若∠APE=∠CPE,求证:
②△APE能否为等腰三角形?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明理由.

【答案】
(1)

解:解:设抛物线解析式为y=a(x+5)(x+1),

把C(0,﹣5)代入得a51=﹣5,解得a=﹣1,

所以抛物线解析式为y=﹣(x+5)(x+1),即y=﹣x2﹣6x﹣5


(2)

解:解:设直线AC的解析式为y=mx+n,

把A(﹣5,0),C(0,﹣5)代入得 ,解得

∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5,

作PQ∥y轴交AC于Q,如图1,

则Q(﹣2,﹣3),

∴PQ=3﹣(﹣3)=6,

∴SAPC=SAPQ+SCPQ= PQ5= ×6×5=15;


(3)

解:①证明:∵∠APE=∠CPE,

而PH⊥AD,

∴△PAD为等腰三角形,

∴AH=DH,

设P(x,﹣x2﹣6x﹣5),则OH=﹣x,OD=﹣x﹣DH,

∵PH∥OC,

∴△PHD∽△COD,

∴PH:OC=DH:OD,即(﹣x2﹣6x﹣5):5=DH:(﹣x﹣DH),

∴DH=﹣x﹣

而AH+OH=5,

∴﹣x﹣x﹣ =5,

整理得2x2+17x+35=0,解得x1=﹣ ,x2=﹣5(舍去),

∴OH=

∴AH=5﹣ =

∵HE∥OC,

= =

②能.设P(x,﹣x2﹣6x﹣5),则E(x,﹣x﹣5),

当PA=PE,因为∠PEA=45°,所以∠PAE=45°,则点P与B点重合,此时P点坐标为(﹣1,0);

当AP=AE,如图2,

则PH=HE,即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|,解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5(舍去),x2=0(舍去);解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5(舍去),x2=﹣2,此时P点坐标为(﹣2,3);

当E′A=E′P,如图2,AE′= E′H′= (x+5),P′E′=﹣x﹣5﹣(﹣x2﹣6x﹣5)=x2+5x,则x2+5x= (x+5),解得x1=﹣5(舍去),x2= ,此时P点坐标为( ,﹣7﹣6 ),

综上所述,满足条件的P点坐标为(﹣1,0),(﹣2,3),( ,﹣7﹣6


【解析】(1)设交点式为y=a(x+5)(x+1),然后把C点坐标代入求出a即可;(2)先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5,作PQ∥y轴交AC于Q,如图1,由P点坐标得到Q(﹣2,﹣3),则PQ=6,然后根据三角形面积公式,利用SAPC=SAPQ+SCPQ进行计算;(3)①由∠APE=∠CPE,PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形,则AH=DH,设P(x,﹣x2﹣6x﹣5),则OH=﹣x,OD=﹣x﹣DH,通过证明△PHD∽△COD,利用相似比可表示出DH=﹣x﹣ ,则﹣x﹣x﹣ =5,则解方程求出x可得到OH和AH的长,然后利用平行线分线段成比例定理计算出 = ; ②设P(x,﹣x2﹣6x﹣5),则E(x,﹣x﹣5),分类讨论:当PA=PE,易得点P与B点重合,此时P点坐标为(﹣1,0);当AP=AE,如图2,利用PH=HE得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|,当E′A=E′P,如图2,AE′= E′H′= (x+5),P′E′=x2+5x,则x2+5x= (x+5),然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标.本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定;会运用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质,能运用相似比计算线段的长;会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题.

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