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【题目】如图,射线AM上有一点BAB6.点C是射线AM上异于B的一点,过CCDAM,且CDAC.过D点作DEAD,交射线AME. 在射线CD取点F,使得CFCB,连接AF并延长,交DE于点G.设AC3x

1 CB点右侧时,求ADDF的长.(用关于x的代数式表示)

2)当x为何值时,△AFD是等腰三角形.

3)若将△DFG沿FG翻折,恰使点D对应点落在射线AM上,连接.此时x的值为 (直接写出答案)

【答案】1;(2)△ADF为等腰三角形,x的取值可以是 34

【解析】

1)由已知条件可得:CD=4x,根据勾股定理得:AD=5x,由AB=6CB点右侧,可以依次表示BCCFDF的长;(2)分两种情况:①当CB点的右侧时,AF=DF,②当C在线段AB上时,又分两种情况:i)当CFCD时,如图3ii)当CFCD时,如图4,由AF=DF,作等腰三角形的高线FN,由等腰三角形三线合一得:AN=ND=2.5x,利用同角的三角函数列比例式可求得x的值;(3)由翻折性质得到DG=,从而证出,从而推出∠FAC=DAG,即AF平分∠DAC,过FFNADN,分两种情况:当CAB的延长线上时,当CAB边上时,根据可列出关于x的比例式,即可求解.

⑴∵CD=AC,AC=3x,

∴CD=4x,

∵CD⊥AM,

∴∠ACD=90°,

由勾股定理得:AD=5x,

∵AB=6,C在B点右侧,

BC=AC-AB=3x-6

BC=FC=3x-6

∴DF=CD-FC=4x-(3x-6)=x+6;

(2)分两种情况:

①当C在B点的右侧时,

ACAB

∴F必在线段CD上,

∵∠ACD=90°

∴∠AFD是钝角,若△ADF为等腰三角形,只可能AF=DF,过F作FN⊥AD于N,如图,

AN=ND=2.5x

解得,

②当C在线段AB上时,同理可知若△ADF为等腰三角形,只可能AF=DF,

i)当CF<CD时,过F作FN⊥AD于N,如图,

x的取值可以是

AB=6AC=3x

BC=CF=6-3x

DF=4x-6-3x=7x-6

解得

ii)当CF>CD时,如图4,

BC=CF=6-3x

FD=AD=6-3x-4x=6-7x

6-7x=5xx=

综上所述,x的取值可以是

(3)∵△DFG沿FG翻折得到

∴DG=

又∵AG=AG,

∴∠FAC=∠DAG,

即AF平分∠DAC,

如图, 当C在AB的延长线上时,过F作FN⊥AD于N, FN=FC=3x-6DF=x+6

解得:x=4;

当C在AB边上时,如图,

FN=FC=6-3x DF=7x-6

解得

综上所述,x的值是4.

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