【题目】如图,射线AM上有一点B,AB=6.点C是射线AM上异于B的一点,过C作CD⊥AM,且CD=AC.过D点作DE⊥AD,交射线AM于E. 在射线CD取点F,使得CF=CB,连接AF并延长,交DE于点G.设AC=3x.
(1) 当C在B点右侧时,求AD、DF的长.(用关于x的代数式表示)
(2)当x为何值时,△AFD是等腰三角形.
(3)若将△DFG沿FG翻折,恰使点D对应点落在射线AM上,连接,.此时x的值为 (直接写出答案)
【答案】(1),;(2)△ADF为等腰三角形,x的取值可以是,,; (3)4或
【解析】
(1)由已知条件可得:CD=4x,根据勾股定理得:AD=5x,由AB=6且C在B点右侧,可以依次表示BC、CF、DF的长;(2)分两种情况:①当C在B点的右侧时,AF=DF,②当C在线段AB上时,又分两种情况:i)当CF<CD时,如图3,ii)当CF>CD时,如图4,由AF=DF,作等腰三角形的高线FN,由等腰三角形三线合一得:AN=ND=2.5x,利用同角的三角函数列比例式可求得x的值;(3)由翻折性质得到DG=,,从而证出,从而推出∠FAC=∠DAG,即AF平分∠DAC,过F作FN⊥AD于N,分两种情况:当C在AB的延长线上时,当C在AB边上时,根据可列出关于x的比例式,即可求解.
⑴∵CD=AC,AC=3x,
∴CD=4x,
∵CD⊥AM,
∴∠ACD=90°,
由勾股定理得:AD=5x,
∵AB=6,C在B点右侧,
∴BC=AC-AB=3x-6,
∵BC=FC=3x-6,
∴DF=CD-FC=4x-(3x-6)=x+6;
(2)分两种情况:
①当C在B点的右侧时,
∴AC>AB,
∴F必在线段CD上,
∵∠ACD=90°,
∴∠AFD是钝角,若△ADF为等腰三角形,只可能AF=DF,过F作FN⊥AD于N,如图,
∴AN=ND=2.5x,
∴,
即,
解得,;
②当C在线段AB上时,同理可知若△ADF为等腰三角形,只可能AF=DF,
i)当CF<CD时,过F作FN⊥AD于N,如图,
x的取值可以是,,;
∵AB=6,AC=3x,
∴BC=CF=6-3x,
∴DF=4x-(6-3x)=7x-6,
∵,
∴,
解得;
ii)当CF>CD时,如图4,
BC=CF=6-3x,
∴FD=AD=6-3x-4x=6-7x,
则6-7x=5x,x=,
综上所述,x的取值可以是,,;
(3)∵△DFG沿FG翻折得到
∴DG=,
又∵AG=AG,
∴
∴∠FAC=∠DAG,
即AF平分∠DAC,
如图, 当C在AB的延长线上时,过F作FN⊥AD于N, FN=FC=3x-6,DF=x+6,
,
解得:x=4;
当C在AB边上时,如图,
∵FN=FC=6-3x, DF=7x-6,
∴,
解得;
综上所述,x的值是4或.
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【题目】如图,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平,再一次折叠纸片,使点A落在EF上的点A′处,并使折痕经过点B,得到折痕BM,若矩形纸片的宽AB=4,则折痕BM的长为( )
A.B.C.8D.
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【题目】如图,在三角形ABC中,AB=6cm,BC=4cm,AC=3cm将三角形ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3cm,得到三角形FDE.则图中阴影部分的面积为( )
A.12cm2B.18cm2C.24cm2D.26cm2
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【题目】已知,当时,.
(1)求这个函数的表达式;
(2)在给出的平面直角坐标系中,请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质;
(3)已知函数的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式的解集.
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【题目】某市生物和地理会考的考试结果以等级形式呈现,分A、B、C、D四个等级.某校八年级学生参加生物会考后,随机抽取部分学生的生物成绩进行统计,绘制成如下两幅不完整的统计图.
(1)这次抽样调查共抽取了 名学生的生物成绩.扇形统计图中,D等级所对应的扇形圆心角度数为 °;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若该校八年级有400名学生,估计这次考试有多少名学生的生物成绩等级为D级?
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【题目】在平面直角坐标系中,四边形是矩形,点,点,点.以点为中心,顺时针旋转矩形,得到矩形,点的对应点分别为,记旋转角为.
(1)如图①,当时,求点的坐标;
(2)如图②,当点落在的延长线上时,求点的坐标;
(3)当点落在线段上时,求点的坐标(直接写出结果即可).
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【题目】某工厂计划生产两种产品共60件,需购买甲、乙两种材料.生产一件产品需甲种材料4千克;生产一件产品需甲、乙两种材料各3千克.经测算,购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元;购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元.
(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元?
(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元,且生产产品不少于38件,问符合生产条件的生产方案有哪几种?
(3)在(2)的条件下,若生产一件产品需加工费40元,生产一件产品需加工费50元,应选择哪种生产方案,使生产这60件产品的成本最低(成本=材料费+加工费)?
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【题目】(本题9分)据报道,“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目.某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度,随机抽取部分学生进行了一次问卷调查,并根据收集到的信息进行了统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有___名,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为___;请补全条形统计图;
(2)若该校共有学生900人,请根据上述调查结果,估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数;
(3)“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种,规则为:剪刀胜布,布胜石头,石头胜剪刀,若双方出现相同手势,则算打平.若小刚和小明两人只比赛一局,请用树状图或列表法求两人打平的概率.
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【题目】如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(0,8),点 B(b,t)在直线x=b上运动,点D、E、F分别为OB、0A、AB的中点,其中b是大于零的常数.
(1)判断四边形DEFB的形状.并证明你的结论;
(2)试求四边形DEFB的面积S与b的关系式;
(3)设直线x=b与x轴交于点C,问:四边形DEFB能不能是矩形?若能.求出t的值;若不能,说明理由.
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