Question

在图1至图4中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE和AD在同一直线上．
操作示例：
当AE＜a时，如图1，在BA上选取适当的点G，BG=b,连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置，恰能构成四边形FGCH．
思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，
实践探究：
（1）小明判断出四边形FGCH是正方形，请你给出判断四边形FGCH是正方形的方法。
（2）经测量，小明发现图1中BG是AE一半，请你证明小明的发现是正确的。（提示：过点F作FM⊥AH,垂足为点M）；
拓展延伸
类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图

Answer 1

（1）方法见解析；（2）证明见解析；（3）拼图见解析.

试题分析：（1）根据旋转的性质得出两三角形全等，求出三角形FGH是等腰直角三角形，并推出四个角是直角，根据正方形的判定推出即可；
（2）过点F作FM⊥AH，垂足为点M，求出ME=AE，证Rt△FMH≌Rt△HDC，推出MH=DC，即可得出答案；
拓展延伸：根据各个图形的特点，结合正方形的判定画出即可．
试题解析：（1）如图，连接GH，

∵△FEH是由△FAG绕点F逆时针旋转90°得到的，
∴△FGH是等腰直角三角形
∴FG=FH，∠FGH=∠FHG=45°，
同理：∠CGH=∠CHG=45°，
∴∠FGC=∠FHC=90°，
∴四边形FGCH是正方形；
（2）如图，过点F作FM⊥AH，垂足为点M，

∴∠FMH=90°
∵△FAE是等腰直角三角形，
∴ME=AE，
∵∠FHM+∠HFM=90°，
∴∠FHM+∠CHD=90°
∴∠HFM=∠CHD，
∵四边形ABCD和四边形FGCH都是正方形，
∴FH=HC，∠FMH=∠CDH=90°，
在△FMH和△HDC中

∴Rt△FMH≌Rt△HDC，
∴MH=DC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB
∵ME=MH-EH，
∴BG=AB-AG，
∵△FEH是由△FAG绕点F逆时针旋转90°得到的，
∴AG=EH，
∴BG=ME=AE；
拓展延伸：