Question

【题目】已知：如图所示，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）

(1)求抛物线的表达式；

(2)设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S△PAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+4x﹣3；(2)满足条件的P点坐标有3个，它们是（2，1）或（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）．

【解析】

（1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可利用交点式求出抛物线解析式；

（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，可设P（t，-t2+4t-3），根据三角形面积公式得到 2|-t2+4t-3|=1，然后去绝对值得到两个一元二次方程，再解方程求出t即可得到P点坐标.

解:(1)抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）（x﹣3）=﹣x2+4x﹣3；

(2)设P（t，﹣t2+4t﹣3），

因为S△PAB=1，AB=3﹣1=2，

所以2|﹣t2+4t﹣3|=1，

当﹣t2+4t﹣3=1时，t1=t2=2，此时P点坐标为（2，1）；

当﹣t2+4t﹣3=﹣1时，t1=2+，t2=2﹣，此时P点坐标为（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1），

所以满足条件的P点坐标有3个，它们是（2，1）或（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）．