Question

【题目】如图正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．

（1）若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF；

（2）若该正方形ABCD的边长为1，如果△CEF的周长为2．求∠EAF的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠EAF＝45°

【解析】

（1）延长CD至E'，使DE'＝BE，连接AE'，先证明△ADE'≌△ABE（SAS），得出∠E′AF＝∠EAF，再由SAS证明△E′AF≌△EAF，得出E′F＝EF，即可得出结论；

（2）延长CD至E'使DE'＝BE，连接AE'，可得△ADE'≌△ABE（SAS），然后判断出AE'＝AE，∠DAE'＝BAE，再求出EF＝E'F，进而判断出△E'AF≌△EAF（SSS），得出∠E'AF＝∠EAF，即可解决问题．

（1）证明：如图，

延长CD至E'，使DE'＝BE，连接AE'，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠B＝90°，

∴∠ADE'＝90°＝∠ABE，

在△ADE'和△ABE中，，

∴△ADE'≌△ABE（SAS），

∴AE'＝AE，∠DAE'＝∠BAE，

∵∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠BAE＝45°，

∴∠DAF+∠DAE'＝∠E'AF＝45°＝∠EAF，

在△E′AF和△EAF中，，

∴△E′AF≌△EAF（SAS），

∴E′F＝EF，

∵E′F＝DE′+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

（2）延长CD至E'使DE'＝BE，连接AE'，

由（1）知，△ADE'≌△ABE（SAS），

∴AE'＝AE，∠DAE'＝BAE，

设BE＝x，DF＝y，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴CE＝1﹣x，CF＝1﹣y，

∵△CEF的周长为2，

∴CE+CF+EF＝2，

∴1﹣x+1﹣y+EF＝2，

∴EF＝x+y＝BE+DF＝DE'+DF＝E'F，

在△E'AF和△EAF中，，

∴△E'AF≌△EAF（SSS），

∴∠E'AF＝∠EAF，

∴∠DAE'+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，

∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°，

∴∠EAF＝45°．