Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P，过点P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N，求证：BM=CN．

Answer 1

【答案】证明：连接BD，CD，如图，

∴DE是BC的垂直平分线，

∴BD=CD，

∵AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，

∴DM=DN，

在Rt△BMD和Rt△CND中，

，

∴Rt△BMD≌Rt△CND（HL），

∴BM=CN

【解析】因为ED是BC的垂直平分线，那么BD=CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM=DN，再根据HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM=CN．
【考点精析】通过灵活运用线段垂直平分线的性质，掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等即可以解答此题．