Question

20．已知一元二次方程（c-a）x²+2bx+c+a=0有两个相等实根，a，b，c是△ABC的三边，且2b=a+c
（1）求a：b：c；
（2）若上述三角形最短边为5，而方程x²-（m+2）x+m-3的两根平方和为最长边的3倍，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由于方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有两个相等实根，由此得到其判别式等于0，这样可以得到一个关于a、b、c的关系，再利用2b=a+c即可求解；
（2）利用（1）可以求出a，b，c的长度，然后利用根与系数的关系和已知条件即可求解．

解答 解：（1）∵（c-a）x²+2bx+c+a=0有两个相等实根，
∴（c-a）x²+2bx+c+a=0的判别式为0，
即△=4b²-4（a+c）（c-a）=0，
∴b²+c²=a²，①
∴△ABC是直角三角形，
而2b=a+c，②，
联立①②把b作为已知数解关于a、c的方程组得a=$\frac{3}{4}$b，c=$\frac{5}{4}$b，
∴a：b：c=3：4：5；
（2）∵三角形最短边为5，
∴据（1）知道最长边为$\frac{25}{3}$，
∵方程x²-（m+2）x+m-3=0的两根平方和为最长边的3倍，
设两根为α、β、
∴α+β=m+2，
αβ=m-3，
∴α²+β²=25=（α+β）²-2αβ，
∴（m+2）²-2（m-3）=25，
∴m₁=-5，m₂=3．

点评 此题主要考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，是叙利亚判别式确定a、b、c的关系，然后利用根与系数的关系得到关于m的方程解决问题．