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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为x=1.

(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标.

【答案】
(1)解:由题意得:

解该方程组得:a=﹣1,b=2,c=3,

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3


(2)解:由题意得:OA=3,OB=3;

由勾股定理得:AB2=32+32

∴AB=3

当△ABM为等腰三角形时,

①若AB为底,

∵OA=OB,

∴此时点O即为所求的点M,

故点M的坐标为M(0,0);

②若AB为腰,

以点B为圆心,以3 长为半径画弧,交y轴于两点,

此时两点坐标为M(0,3﹣3 )或M(0,3+3 ),

以点A为圆心,以3 长为半径画弧,交y轴于点(0,﹣3);

综上所述,当△ABM为等腰三角形时,点M的坐标分别为

(0,0)、(0,3﹣3 )、(0,3 +3)、(0,﹣3).


【解析】(1)直接根据题意列出关于a、b、c的方程组,解方程组即可解决问题.(2)运用分类讨论的数学思想,根据等腰三角形的定义,分类讨论,数形结合,即可解决问题.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用抛物线与坐标轴的交点的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点.当b2-4ac>0时,图像与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,图像与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,图像与x轴没有交点.

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