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【题目】如图,点A在数轴上对应的数为20,以原点O为圆心,OA为半径作优弧,使点BO右下方,且tanAOB,在优弧上任取一点P,且能过P作直线lOB交数轴于点Q,设Q在数轴上对应的数为x,连接OP

1)若优弧上一段的长为10π,求∠AOP度数及x的值.

2)若线段PQ的长为10,求这时x的值.

【答案】(1) ∠AOP=90°,x= ;(2) x的值为或﹣+5或

【解析】

1)由10π,解得n90°,即∠POQ90°,在RtPOQ中,OP20tanPQOtanQOB,即可得出x的值;

解:(1)如图1

10π

解得n90°

∴∠POQ90°

PQOB

∴∠PQO=∠BOQ

tanPQOtanQOB

OQ

x

2)分三种情况:

①如图2,作OHPQH,设OHkQHk

RtOPH中,∵OP2OH2+PH2

202=(k2+10k2

整理得:k25k750

解得kk(舍弃),

OQ2k

此时x的值为

②如图3,作OHPQPQ的延长线于H.设OHkQHk

RtRtOPH中,∵OP2OH2+PH2

202=(k2+10+k2

整理得:k2+5k750

解得k(舍弃)或k(舍弃),

OQ2k

此时x的值为﹣+5

③如图4,作OHPQH,设OHkQHk

RtOPH中,∵OP2OH2+PH2

202=(k2+10k2

整理得:k25k750

解得k(舍弃),

OQ2k

此时x的值为

综上所述,满足条件的x的值为或﹣+5

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