Question

【题目】如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．

（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；

（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．

①若OE=，OG=1，求的值；

②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②添加AC=BD.

【解析】（1）连接AC，由四个中点可知OE∥AC、OE=AC，GF∥AC、GF=AC，据此得出OE=GF、OE//GF，即可得证；

（2）①由旋转性质知OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，据此可证△OGM∽△OEN得；

②连接AC、BD，根据①知△OGM∽△OEN，若要GM=EN只需使△OGM≌△OEN，添加使AC=BD的条件均可以满足此条件．

（1）如图1，连接AC，

∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，

∴OE∥AC、OE=AC，GF∥AC、GF=AC，

∴OE=GF，OE//GF，

∴四边形OEFG是平行四边形；

（2）①∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，

∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，

∴，

∴△OGM∽△OEN，

∴；

②添加AC=BD，

如图2，连接AC、BD，

∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，

∴OG=EF=BD、OE=GF=BD，

∵AC=BD，

∴OG=OE，

∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，

∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，

∴OG=OE、OM=ON，

在△OGM和△OEN中，

，

∴△OGM≌△OEN（SAS），

∴GM=EN．