Question

4．已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．
（1）当k=-1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．
（2）当k=-$\frac{3}{4}$时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）²+n与直线AB的另一交点为D（如图2），
①求CD的长；
②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

Answer 1

分析 （1）①根据直线方程求得A点的坐标，从而求得OA的长度；然后根据点P、Q两点的运动距离即可求得点C、Q的横坐标；将点C的横坐标代入直线方程即可求得点C的纵坐标；
②需要分类讨论：①当△AQC∽△AOB时，点P与点Q重合，OQ=OP；②当△ACQ∽△AOB时，△AOB、△ACQ都是等腰直角三角形，AQ=2CP．
（2）①以点C为顶点的抛物线，解得关于t的根，过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB=90°，再由△DEC∽△AOB，从而解得．
②先求得三角形COD的面积为定值，又由Rt△PCO∽Rt△OAB，在线段比例中t为$\frac{36}{25}$时，h最大．

解答 解：（1）①∵直线y=-x+3分别交x轴、y轴于A，B两点，
∴令y=0，则x=3，即A（3，0）．
∴OA=3；
∵点P运动1秒钟，
∴OP=1，
∵点C在直线AB上，
∴y_c=-1+3=2，
∴C（1，2），
∵点Q运动时间是1秒钟，且在x轴上，
∴AQ=1，
∴OQ=OA-AQ=2，
∴Q（2，0）．
综上所述，C（1，2），Q（2，0）；

②由题意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）．
分两种情况讨论：
情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°，
∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴点P与点Q重合，OQ=OP，
即3-t=t，
∴t=1.5；
情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACQ也是等腰直角三角形．
∵CP⊥OA，
∴AQ=2CP，
即t=2（-t+3），
∴t=2．
∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒；

（2）①由题意得：C（t，-$\frac{3}{4}$t+3），
∴以C为顶点的抛物线解析式是y=（x-t）²-$\frac{3}{4}$t+3，
由（x-t）²-$\frac{3}{4}$t+3=-$\frac{3}{4}$x+3，
即（x-t）²+$\frac{3}{4}$（x-t）=0，
∴（x-t）（x-t+$\frac{3}{4}$）=0，
解得x₁=t，x₂=t-$\frac{3}{4}$．
如图1，过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB=90°，
∵DE∥OA，
∴∠EDC=∠OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴$\frac{DE}{AO}$=$\frac{CD}{BA}$，
∵AO=4，AB=5，DE=t-（t-$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}$，
∴CD=$\frac{DE×AB}{AO}$=$\frac{\frac{3}{4}×5}{4}$=$\frac{15}{16}$，
②∵DC=$\frac{15}{16}$，CD边上的高=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{16}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{9}{8}$，
∴S_△COD为定值．
如图2，要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，因为当OC⊥AB时OC最短，
此时OC的长为$\frac{12}{5}$，∠BCO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，
又∵CP⊥OA，
∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
∴$\frac{OP}{BO}$=$\frac{OC}{AB}$，OP=$\frac{OC×BO}{AB}$=$\frac{\frac{12}{5}×3}{5}$=$\frac{36}{25}$，
即t=$\frac{36}{25}$，
故当t为$\frac{36}{25}$秒时，h的值最大．

点评 本题考查了二次函数的综合题，以及相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，解答题时，注意要分类讨论，以防漏解．