Question

18．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若△FCD的面积为7.5，BC=10，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）先由线段垂直平分线的性质证明CE=BE，从而得到∠DCF=∠CBA，由AD=AC可知∠CDF=∠BCA，从而得到△ABC∽△FCD；
（2）由相似三角形的面积等于相似比的平方可求得△ABC的面积为30，从而可求得AH=6，过A作AH⊥CB于H．由等腰三角形的性质可知HC=DH=$\frac{1}{4}$BC，然后证明△BDE∽△BHA，利用相似三角形的性质可求得DE的长．

解答 （1）证明：∵D是BC边上的中点，DE⊥BC
∴CE=BE
∴∠DCF=∠CBA．
∵AC=AD，
∴∠CDF=∠BCA．
∴△ABC∽△FCD．
（2）解：过A作AH⊥CB于H．

∵AC=AD，AH⊥CD，
∴CH=DH=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{4}BC$=2.5．
∵△ABC∽△FCD，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△FCD}}=（\frac{BC}{CD}）^{2}=4$．
∴S_△ABC=4S_△FCD=30．
∴AH=$\frac{2{S}_{△ABC}}{BC}$=6．
∵AH⊥CB，ED⊥CB
∴AH∥ED
∴$\frac{DE}{AH}=\frac{BD}{BH}$．
∴DE=$\frac{AH•BD}{BH}$=$\frac{6×5}{5+2.5}$=4．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、利用相似三角形的性质求得△ABC的面积是解题的关键．