Question

17．如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．
（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；
（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；
（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．

Answer 1

分析 （1）AB=AC，∠BAC=60°，证得△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，得到∠APB=60°，又点P恰巧在∠ABC的平分线上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用直角三角形的性质解出结果．
（2）在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，得到△ADP是等边三角形，再通过三角形全等证得结论．
（3）以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF⊥BP交BP于F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，
∴∠APB=60°，
又∵点P恰巧在∠ABC的平分线上，
∴∠ABP=30°，
∴∠PAB=90°，
∴BP=2AP，
∵AP=2，
∴BP=4；

（2）结论：PA+PC=PB．
证明：如图1，在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，
∵∠APB=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°，
∴∠1=∠2，PA=PD，
在△ABD与△ACP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PD}\\{∠1=∠2}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACP，
∴PA=AD，
∴PA+PC=PB；

（3）结论：$\sqrt{3}$PA+PC=PB．
证明：如图2，以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF⊥BP交BP于F，
∴AP=AD，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABC=30°，
∴∠APB=30°，
∴∠DAP=120°，
∴∠1=∠2，
在△ABD与△ACP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠2=∠1}\\{AD=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACP，
∴DB=PC，
∵AF⊥PD，
∴PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP，
∴PD=$\sqrt{3}$AP，
∴$\sqrt{3}$PA+PC=PB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．