Question

8．如图，已知直线y₁=$\frac{1}{2}$x与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4．
（1）k的值为8；当x的取值范围为x＞4或-4＜x＜0时，y₁＞y₂；
（2）若双曲线y₂=$\frac{k}{x}$（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正比例函数先求出点A的坐标，从而求出了k值为8，然后通过解方程组求得B的坐标，根据图象即可求得y₁＞y₂时的x的取值．；
（2）过A、C点分别作x轴、y轴的垂线垂足为G、E，两垂线交于点F，则四边形EFGO是矩形，根据C的纵坐标求得C的坐标，然后根据S_△AOC=S_矩形-S_OEC-S_△CFA-S_△OAG计算即可．

解答 解：（1）∵点A横坐标为4，
∴由y₁=$\frac{1}{2}$x可知当x=4时，y=2．
∴点A的坐标为（4，2）．
∵点A是直线y₁=$\frac{1}{2}$x与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$（k＞0）的交点，
∴k=4×2=8．
∴双曲线的解析式为y=$\frac{8}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴A（（4，2），B（-4，-2），
根据图象可知：当x＞4或-4＜x＜0时，y₁＞y₂；
故答案为8、x＞4或-4＜x＜0．
（2）如图，过A、C点分别作x轴、y轴的垂线垂足为G、E，两垂线交于点F，则四边形EFGO是矩形，
∵点C在双曲线上，点C的纵坐标为8，
∴8=$\frac{8}{x}$，解得x=1，
∴C（1，8），
∴S_△AOC=S_矩形-S_OEC-S_△CFA-S_△OAG=8×4-$\frac{1}{2}$×1×8-$\frac{1}{2}$（4-1）×（8-2）-$\frac{1}{2}$×4×2=32-4-9-4=15．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．