Question

18．点P（x₁，y₁）和点Q（x₂，y₂）是关于x的函数y=mx²-（2m+1）x+m+1（m为实数）图象上两个不同的点．对于下列说法：
①不论m为何实数，关于x的方程mx²-（2m+1）x+m+1=0必有一个根为x=1；
②当m=0时，（x₁-x₂）（y₁-y₂）＜0成立；
③当x₁+x₂=0时，若y₁+y₂=0，则m=-1；
④当m≠0时，抛物线顶点在直线y=-$\frac{1}{2}$x+1上．
其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 根据方程解的定义对①进行判断；先得到当m=0时，函数解析式为y=-x+1，则可计算出（x₁-x₂）（y₁-y₂）=-（x₁-x₂）²，于是可根据非负数的性质对②进行判断；当m=-1时，解析式为y=-x²+x，可计算出y₁+y₂=2x₁x₂≠0，于是可对③进行判断；先计算出顶点坐标，然后根据一次函数图象上点的坐标特征对④进行判断．

解答 解：当x=1时，y=mx²-（2m+1）x+m+1=m-2m-1+m+1=0，则方程mx²-（2m+1）x+m+1=0必有一个根为x=1，所以①正确；
当m=0时，y=-x+1，则y₁=-x₁+1，y₂=-x₂+1，所以（x₁-x₂）（y₁-y₂）=（x₁-x₂）（-x₁+x₂）=-（x₁-x₂）²，而点P（x₁，y₁）和点Q（x₂，y₂）是两个不同的点，则（x₁-x₂）（y₁-y₂）=-（x₁-x₂）²＜0，所以②正确；
当m=-1时，y=-x²+x，则y₁=-x₁²+x₁，y₂=-x₂²+x₂，所以y₁+y₂=-x₁²+x₁-x₂²+x₂=-（x₁+x₂）²+2x₁x₂+（x₁+x₂）=2x₁x₂≠0，所以③错误；
当m≠0时，顶点的横坐标为$\frac{2m+1}{2m}$，纵坐标为$\frac{4m（m+1{）-（2m+1）}^{2}}{4m}$=$\frac{-1}{4m}$，当x=$\frac{2m+1}{2m}$时，y=-$\frac{1}{2}$x+1=-$\frac{1}{2}$•$\frac{2m+1}{2m}$+1=$\frac{2m-1}{4m}$，所以抛物线的顶点不在直线y=-$\frac{1}{2}$x+1上，所以④错误．
故选A．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质、方程解的定义和一次函数图象上点的坐标特征．