问题:如图(1).在Rt△ACB中.∠ACB=90°.AC=CB.∠DCE=45°.试探究AD.DE.EB满足的等量关系．[探究发现]小聪同学利用图形变换.将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH.连接EH.由已知条件易得∠EBH=90°.∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边 .可证△CEH≌△CDE.得EH=ED．在Rt� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．问题：如图（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系．
[探究发现]
小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接EH，由已知条件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．
根据“边角边”，可证△CEH≌△CDE，得EH=ED．
在Rt△HBE中，由勾股定理，可得BH²+EB²=EH²，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是AD²+EB²=DE²．
[实践运用]
（1）如图（2），在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；
（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．

分析（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定方法证明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性质即可求出∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，设AG=x，则CE=x-2，CF=x-3．因为CE²+CF²=EF²，所以（x-2）²+（x-3）²=5²．解这个方程，求出x的值即可得到AG=6，在（2）中，MN²=MB²+ND²，MN=a，${a}^{2}=（3/2\sqrt{2}）^{2}+（6\sqrt{2}-3/2\sqrt{2}-a）^{2}$，所以a=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．即MN=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

解答解：根据“边角边”，可证△CEH≌△CDE，得EH=ED．
在Rt△HBE中，由勾股定理，可得BH²+EB²=EH²，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是AD²+EB²=DE²；故答案为：△CDE；勾股；AD²+EB²=DE²；
（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴∠BAE=∠GAE，
同理，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴∠GAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴BE=EG=2，DF=FG=3，则EF=5，
设AG=x，则CE=x-2，CF=x-3，
∵CE²+CF²=EF²，
∴（x-2）²+（x-3）²=5²，
解这个方程，得x₁=6，x₂=-1（舍去），
∴AG=6，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{2A{G}^{2}}=6\sqrt{2}$，
∴AB=6，
∵MN²=MB²+ND²
设MN=a，则${a}^{2}=（3/2\sqrt{2}）^{2}+（6\sqrt{2}-3/2\sqrt{2}-a）^{2}$，
所以a=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
即MN=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用和一元二次方程的运用，题目的综合性很强，难度不小．

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