Question

如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件，求∠BIC的度数．
（1）若∠ABC=60°，∠ACB=70°，则∠BIC=

 

；
（2）若∠ABC+∠ACB=130°，则∠BIC=

 

；
（3）若∠A=50°，则∠BIC=

 

；
（4）若∠A=110°则∠BIC=

 

；
（5）从上述计算中，我们能发现已知∠A，求∠BIC的公式是：∠BIC=

 

；
（6）如图，若BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，交于点P，若已知∠A，则求∠BPC的公式是：∠BPC=

 

．

Answer 1

分析：根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求解即可．

解答：解：（1）∵BI是∠ABC的平分线，∠ABC=60°
∴∠CBI=

1

2

∠ABC=30°
∵CI是∠ACB的平分线，∠ACB=70°
∴∠BCI=

1

2

∠ACB=35°
在△BCI中
∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°
∴∠BIC=180°-30°-35°=115°；

（2）∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线
∴∠CBI=

1

2

∠ABC，∠BCI=

1

2

∠ACB
∴∠CBI+∠BCI=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×130°=65°
在△BCI中
∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°
∴∠BIC=180°-65°=115°；

（3）在△ABC中
∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=50°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°
∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线
∴∠CBI=

1

2

∠ABC，∠BCI=

1

2

∠ACB
∴∠CBI+∠BCI=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×130°=65°
在△BCI中
∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°
∴∠BIC=180°-65°=115°；

（4）在△ABC中
∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=110°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=70°
∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线
∴∠CBI=

1

2

∠ABC，∠BCI=

1

2

∠ACB
∴∠CBI+∠BCI=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×70°=35°
在△BCI中
∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°
∴∠BIC=180°-35°=145°；

（5）在△ABC中
∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线
∴∠CBI=

1

2

∠ABC，∠BCI=

1

2

∠ACB
∴∠CBI+∠BCI=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A
在△BCI中
∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°
∴∠BIC=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A；

（6）∵∠CBD，∠BCE是△ABC的外角
∴∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC
∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A
∵BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线
∴∠CBP=

1

2

∠CBD，∠BCP=

1

2

∠BCE
∴∠CBP+∠BCP=

1

2

（∠CBD+∠BCE）=

1

2

（180°+∠A）=90°+

1

2

∠A
在△BCP中°
∠BCP+∠CBP+∠BPC=180
∴∠BPC=180°-（90°+

1

2

∠A）=90°-

1

2

∠A．

点评：考查三角形的内角和定理，角平分线与外角性质等知识．