Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
（3）当△ECA为直角三角形时，求t的值．

Answer 1

解：（1）二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），
∴，解得，
∴这个二次函数的解析式为：y=-2x²+6x+8；

（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，
∴∠DEF=∠ODA，
∴△EDF∽△DAO，
∴=．
∵=tan∠DAE=，
∴=，
∴=，∴EF=t．
同理=，
∴DF=OA=2，∴OF=t-2．

（3）∵抛物线的解析式为：y=-2x²+6x+8，
∴C（0，8），OC=8．
如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则四边形EFOM是矩形，
∴EF=OM．
∴在Rt△AEM中，EM=OF=t-2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，
当∠CEA=90°时，CE²+AE²=AC²，即，解得：t=4
当∠ECA=90°时，CE²+AC²=AE²，即，解得：t=8．即点D与点C重合．
综上所述，t的值是4．
分析：（1）把点A、B的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、c的方程组，通过解该方程组来求它们的值；
（2）通过相似三角形（△EDF∽△DAO）的对应边成比例得到=，结合正切三角函数的定义求得EF=t．由该相似三角形的对应边成比例还得到==，则DF=OA=2，所以，OF=t-2．
（3）如图，过E点作EM⊥x轴于点M，构建矩形EFOM．当当△ECA为直角三角形时，需要分类讨论：
当∠CEA=90°时，根据勾股定理得到CE²+AE²=AC²，把相关线段的数据代入可以列出关于t的方程，通过解该方程即可求得t的值；
当∠ECA=90°时，根据勾股定理可得CE²+AC²=AE²，即，通过解该方程得知点D与点C重合．
点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．