【题目】若关于 x 的一元二次方程axbxc=0(a0,c0,a、b、c为常数)有两个不相等的实数根,(0),O为坐标原点,A、B为x轴正半轴上的两点且A,0,B,0.
(1)当=c=2,b=-时,求与a的值;
(2)当 x 1,c 6a 时,P为一次函数 y x4图象上一点,Q为平面直角坐标系中的一点,若点 A、B、P、Q 为一个矩形的四个顶点,请确定点Q的坐标;
(3)当=2c时,试问在正比例函数y=的图象上是否存在点M使得△ABM为等边三角形?判断并证明你的结论。
【答案】(1)=3,a=;(2)点Q的坐标为:(6,3)或(1,-2);(3)不存在点M使得△ABM为等边三角形,证明见解析.
【解析】
(1)把=c=2,b=代入可求出a的值,从而得到该方程,利用根与系数的关系可求出另一根;
(2)把x1,c6a代入可求出b=-7a,从而将方程变形为a(x-1)(x-6)=0,得到A,B坐标,然后根据一次函数图像上点的坐标特征和矩形的性质可分情况求出点Q的坐标;
(3)将=2c代入axbx c=0利用根与系数的关系求出,得到A,B坐标,过点M作MC⊥x轴于点C,由C是AB中点,可求出C的坐标,进而代入正比例函数解析式得到M点坐标,然后根据CM=AC列出方程求出b值,推出矛盾,问题得解.
解:(1)把=c=2,b=代入ax bx c=0得:4a+2×()+2=0,
解得:a=,
所以该方程为:xx 2=0,
∵=,即2+=5,
∴=3;
(2)把x1,c6a代入axbx c=0得ab6a=0,
∴b=-7a;
∴ax-7ax 6a=0,即a(xx 6)=0,
∴a(x-1)(x-6)=0(a0),
∴,,
∴A(1,0),B(6,0),
①如图1,过点A作AP⊥x轴交直线yx4于点P,
∴P(1,3),
∵四边形APQB为矩形,
∴Q(6,3);
②如图2,过点B作BP⊥x轴交直线yx4于点P,
∴P(6,-2),
∵四边形ABPQ为矩形,
∴Q(1,-2);
综上所述,点Q的坐标为:(6,3)或(1,-2);
(3)不存在点M使得△ABM为等边三角形;
证明:将=2c代入axbx c=0得:4ac2+2bc+c=0,即c(4ac+2b+1)=0,
∵c0,
∴4ac+2b+1=0①,
∵,
∴,
∴A(2c,0),B(,0),
假设存在点M使得△ABM为等边三角形,
如图3,过点M作MC⊥x轴于点C,则C是AB中点,
∴C点横坐标为:,
将代入可得,
由①可知4ac=-(2b+1),4ac+1=-2b,
∴,
∴M(,),
当△ABM为等边三角形时,CM=AC,
AC,
∴
∴,
解得:b=-1(舍)或b=,
∵b=,,
∴a<0,与题设中a0矛盾,
∴不存在点M使得△ABM为等边三角形.
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【题目】为了进一步改善环境,郑州市今年增加了绿色自行车的数量,已知A型号的自行车比B型号的自行车的单价低30元,买8辆A型号的自行车与买7辆B型号的自行车所花费用相同.
(1)A,B两种型号的自行车的单价分别是多少?
(2)若购买A,B两种自行车共600辆,且A型号自行车的数量不多于B型号自行车的一半,请你给出一种最省钱的方案,并求出该方案所需要的费用.
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【题目】如图,已知点A(1,a)是反比例函数的图象上一点,直线与反比例函数的图象在第四象限的交点为点B.
(1)求直线AB的解析式;
(2)动点P(x,0)在x轴的正半轴上运动,当线段PA与线段PB之差达到最大时,求点P的坐标.
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【题目】已知数轴上有A、B、C三点,分别表示有理数﹣26,﹣10,10,动点P从A出发,以每秒1个单位的速度向右移动,当P点运动到C点时运动停止,设点P移动时间为t秒。
(1)用含t的代数式表示P到点A和点C的距离:PA=_____,PC=_____.
(2)当点P运动到B点时,点Q从A出发,以每秒3个单位的速度向右运动,求t等于多少秒时P、Q两点相遇?t等于多少秒时P、Q两点相距4个单位长度?
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【题目】已知A,B两点在同一条数轴上,点A在原点的左边,到原点的距离为4,点B在原点右边,点A 到B点的距离为16.
(1)求A,B两点所表示的数:
(2)若A,B两点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度同时相向移动,在点C相遇,求点C表示的数?
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【题目】某学校组织团员举行申奥成功宣传活动,从学校骑车出发,先上坡到达A地后,宣传8分钟;然后下坡到B地宣传8分钟返回,行程情况如图.若返回时,上、下坡速度仍保持不变,在A地仍要宣传8分钟,那么他们从B地返回学校用的时间是( )
A. 45.2分钟 B. 48分钟 C. 46分钟 D. 33分钟
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【题目】△ABC在平面直角坐标系中如图所示,
(1)S△ABC= .
(2)x轴上是否存在点P,使得S△BCP=2S△ABC,若不存在,说明理由;若存在,求出P点的坐标.
(3)请直接写出:以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.
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【题目】在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动.将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一条直线上,AB与AG在同一条直线上.
(1)小明发现DG=BE且DG⊥BE,请你给出证明.
(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时△ADG的面积.
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【题目】已知 a b , a 与b 两个数在数轴上对应的点分别为点 A 、点 B ,求 A 、 B 两点之间的距离.
(探索)
小明利用绝对值的概念,结合数轴,进行探索:
(1)补全小明的探索
(应用)
(2)若点C 对应的数c ,数轴上点C 到A、B 两点的距离相等,求c .(用含a、b 的代数式表示)
(3)若点 D对应的数 d ,数轴上点 D 到 A 的距离是点 D 到 B 的距离的nn 0 倍,请探索 n 的取值范围与点 D 个数的关系,并直接写出a、b 、d、n 的关系.
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