Question

20．如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形．
（1）当四边形ABCD分别是菱形、矩形、平行四边形时，相应的四边形EFGH一定是“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：

四边形ABCD	菱形	矩形	平行四边形
四边形EFGH	矩形	菱形	平行四边形

（2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？当对角线互相垂直时，四边形EFGH是矩形；  当对角线相等时四边形EFGH是菱形．

Answer 1

分析 （1）原四边形是菱形时，菱形的对角线互相垂直，因此平行四边形应该是个矩形（平行四边形相邻的两边都垂直），
原四边形是矩形时，它的对角线相等，那么平行四边形应该是个菱形（平行四边形相邻的两边都相等）；
利用四边形ABCD是平行四边形时，其四边形EFGH是平行四边形；
（2）根据（1）我们可看出要想使得出的平行四边形是矩形，那么原四边形的对角线就必须垂直，因为只有这样平行四边形的相邻两边才垂直．同理平行四边形是菱形时，原四边形的对角线就必须相等．

解答 解：（1）四边形ABCD是菱形时，平行四边形EFGH是矩形，
四边形ABCD是矩形时，平行四边形EFGH是菱形，
四边形ABCD是平行四边形时，四边形EFGH是平行四边形；
故答案为：矩形；  菱形；   平行四边形；   

（2）当平行四边形是矩形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线互相垂直，
当平行四边形是菱形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线相等．
故答案为：对角线互相垂直（AC⊥BD）；对角线相等（A C=BD）．

点评 本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定等知识点，正确把握矩形、菱形判定方法是解题关键．