Question

15．如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：AC=AD；
（2）点G为线段CD延长线上一点，将GC绕着点G逆时针旋转β，与射线BD交于点E．
①如图1，若β=α，DG=2AD，试判断BC与EG之间的数量关系，并证明你的结论；
②若β=2α，DG=kAD，请直接写出$\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{△BCD}}$的值（用含k的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用等腰三角形的性质得出AC=AD即可；
（2）利用已知得出∠GDE=∠BDC=90°-α，进而得出∠DEG=∠AHB=90°，则△DEG∽△AHB，进而利用相似三角形的性质得出答案；
（3）利用（2）得出∠AHB=∠DFG=90°，进而利用角平分线的性质以及相似三角形的判定与性质得出即可．

解答 解：如图1（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴AB=AD．
∵AB=AC，
∴AC=AD．

（2）如图2证明：过A作AH⊥BC于点H．
由题意可得：∠AHB=90°．
∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ACB=∠ABC=α．
∴∠BAC=180°-2α．
由（1）得AB=AC=AD．
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC．
∴∠GDE=∠BDC=90°-α，
∵∠G=β=α=∠ABC，
∴∠G+∠GDE=90°．
∴∠DEG=∠AHB=90°．
∴△DEG∽△AHB．
∵GD=2AD，AB=AD，
∴DG=2AB，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{GE}{BH}$=2，
∵BC=2BH，
∴BC=GE；

（3）如图3，$\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{△BCD}}{=k}^{2}$．
理由：解：过A作AH⊥BC于点H，作∠DGE的平 分线GF，
∵由①得，∠DGF+∠GDE=90°，
∵∠AHB=∠DFG=90°．
又∵∠ABC=∠DGF=α，
∴△DFG∽△AHB．
又∵AB=AD，
$\frac{{S}_{△DFG}}{{S}_{△AHB}}=\frac{{GD}^{2}}{{AB}^{2}}=\frac{{GD}^{2}}{{AD}^{2}}{=k}^{2}$，
∵$\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{ABC}}=\frac{{2S}_{△DFG}}{{2S}_{△AHB}}{=k}^{2}$，
又∵S_△ABC=S_△BCD，
∴$\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{△BCD}}{=k}^{2}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，得出△ABH∽△DGF是解题关键．