Question

如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．
（1）求证：EF∥AC；
（2）求∠BEF大小；
（3）若EB=4，则△BAE的面积为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：

分析：（1）利用平行四边形的判定及其性质定理即可解决问题；
（2）作辅助线构造出一对全等三角形，利用等边三角形的判定及其性质即可解决问题；
（3）借助旋转变换将△BCG与△BAE拼接到一起，通过作辅助线求出△BHE的高，问题即可解决．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AEFC是平行四边形，
故EF∥AC．
（2）连接BG
∵四边形ABCD是正方形，且EF∥AC，
∴∠DEG=∠DAC=45°，∠DGE=∠DCA=45°；                  
故∠CFG=∠DEG=45°，∠CGF=∠DGE=45°，
∴∠CGF=∠CFG，CG=CF；
∵AE=CF，
∴AE=CG；
在△ABE与△CBG中，

AB=BC ∠EAB=∠GCB AE=CG

，
∴△ABE≌CBG（SAS），
∴BE=BG；
又∵BE=EG，
∴BE=BG=EG，△BEG是等边三角形，
故∠BEF=60°．
（3）延长EA到M，使AH=CG；过点M作MK⊥BE于点K；
∵△BEG是等边三角形，
∴∠EBG=60°，
∴∠ABE+∠CBG=90°-60°=30°；
在△ABM与△BCG中，

AM=CG ∠MAB=∠GCB AB=BC

，
∴△ABM≌△BCG（SAS），
∴BM=BC=4，∠ABM=∠CBG；
故∠ABM+∠ABE=∠ABE+∠CBG=30°，
∴MK=

1

2

BH=2，
∴△BME的面积=

1

2

×4×2=4，△BAE的面积═

1

2

×4=2．

点评：考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其应用问题；解题的关键是通过作辅助线构造出全等三角形，结合等边三角形的判定及其性质来解决问题；对综合运用能力及探究思维能力提出了较高的要求．