Question

【题目】如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．

（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得： ，

解得：b=3，c=4．

抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．

（2）

解：如图1所示：

∵令x=0得y=4，

∴OC=4．

∴OC=OB．

∵∠CFP=∠COB=90°，

∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．

设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）（a＞0）．

则CF=a，PF=|﹣a2+3a+4﹣4|=|a2﹣3a|．

∴|a2﹣3a|=a．

解得：a=2，a=4．

∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．

（3）

解：如图2所示：连接EC．

设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣a．

∵S四边形PCEB= OBPE= ×4（﹣a2+3a+4），S△CEB= EBOC= ×4×（4﹣a），

∴S△PBC=S四边形PCEB﹣S△CEB=2（﹣a2+3a+4）﹣2（4﹣a）=﹣2a2+8a．

∵a=﹣2＜0，

∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．

∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．

【解析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入抛物线的解析式，求得b、c的值即可；（2）先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到△OBC为等腰直角三角形，故此当CF=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则CF=a，PF=﹣a2+3a，接下来列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；（3）连接EC．设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣a．然后依据S△PBC=S四边形PCEB﹣S△CEB列出△PBC的面积与a的函数关系式，从而可求得三角形的最大面积．