Question

【题目】综合与探究：如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B（A在B的右侧），与y轴交于点C，对称轴与抛物线交于点D，与x轴交于点E．

（1）求点A，B，C，D的坐标；
（2）求出△ACD的外心坐标；
（3）将△BCE沿x轴的正方向每秒向右平移1个单位，当点E移动到点A时停止运动，若△BCE与△ADE重合部分的面积为S，运动时间为t（s），请直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3

∴点A坐标为（3，0），点B坐标为（﹣1，0），

当x=0时，代入﹣x2+2x+3=0，y=3，

∴C点坐标为（0，3）

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D点的坐标为（1，4）

（2）

解：过点D作DF⊥y轴，垂足为F，连接AC、CD，如图1

∵A（3，0），C（0，3），D（1，4）

∴DF=CF=1，OC=AC=3，

∴△DFC，△AOC均为等腰直角三角形；

∴∠DCF=∠ACO=45°，∴∠ACD=90°，△ACD为直角三角形；

∴斜边AD上中点为△ACD的重心，设点P为AD的中点，

过点P作PG⊥OA，垂足为G，

∵△APG∽△ADE，

∴点G为EA的中点，

∴OG=2，PG=2，

∴点P坐标为（2，2）

（3）

解：如图2，当0＜t≤1时，EE′=t

设E′C′与DE交于点Q，根据△QEE′～△COB，求得QE=3t，

∴S= QEEE′= ×t×3t= t2；

如图3，当1＜t≤ 时，设当B′C′与DE交于点H，

根据△B′HE～△BOC，求得EH=3（2﹣t），

∵S=S△C′B′E′﹣S△HB′E，

∴S= ×2×3﹣ ×3（2﹣t）2

即S=﹣ t2+6t﹣3；

如图4，当 ＜t≤2时，

设直线B′C′与直线DE交点为T，与直线AD的交点为K，直线AD与直线E′C′的交点为L，

∵B′（t﹣1，0），C′（t，3），E′（t+1，0），

∴直线B′C′的解析式为：y=3x+（3﹣3t），

直线E′C′的解析式为：y=﹣3x+（3+3t），

∵直线AD的解析式为y=2x+6，

∵解方程组

解得

∴K（ ， ）

解方程组

解得

∴L（3t﹣3，﹣6t+12），

又∵T（1，6﹣3t），

∴DT=4﹣（6﹣3t）=3t﹣2，AE′=3﹣（t+1）=2﹣t，△DKT以DT为底边上的高为： ﹣1= ，

S=S△EAD﹣S△DKT﹣S△E′AL=4﹣ （3t﹣2） ﹣ （2﹣t）（﹣6t+12），

即S=﹣ t2+ ﹣ ；

∴当0＜t≤1时，S= t2

当1＜t≤ 时，S=﹣ t2+6t﹣3

当 ＜t≤2时，S=﹣ t2+ ﹣

【解析】（1）利用函数关系式分别让x=0及y=0可求出点A、B及点C坐标，通过配方法求得点D坐标；（2）作DF⊥y轴，连接DC、AC，利用特殊角证出△ACD为直角三角形，则通过相似三角形对应边的比可得出外心的坐标；（3）根据运动时间t，分成0＜t≤1、1＜t≤ 、 ＜t≤2三种情况进行讨论，利用直线解析式求出交点坐标，从而将面积分别表示出来．