Question

已知点E、F分别在矩形ABCD边AB、AD上，EF∥BD，EC、FC分别交BD于H、G，求证：BG=DH．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例

专题：证明题

分析：连结AC交EF于M，交BD于O，如图，根据矩形的性质得OB=OD，再根据平行线分线段成比例定理，由EM∥OB得

EM

OB

=

AM

AO

，由MF∥OD得

MF

OD

=

AM

AO

，则

EM

OB

=

MF

OD

，所以EM=FM，再由
OG∥EM，OH∥FM得到

OG

EM

=

CO

CM

，

OH

FM

=

CO

CM

，则

OG

EM

=

OH

FM

，所以OG=OH，然后利用线段的差易得到结论．

解答：证明：连结AC交EF于M，交BD于O，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB=OD，
∵EM∥OB，
∴

EM

OB

=

AM

AO

，
∵MF∥OD，
∴

MF

OD

=

AM

AO

，
∴

EM

OB

=

MF

OD

，
∴EM=FM，
∵OG∥EM，OH∥FM，
∴

OG

EM

=

CO

CM

，

OH

FM

=

CO

CM

，
∴

OG

EM

=

OH

FM

，
∴OG=OH，
∴BO-OG=OD-OH，
即BG=DH．

点评：本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了矩形的性质．