Question

1．如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠B=60°，CE⊥AB于E，动点P从出发点以1cm/s的速度沿BC边向终点C运动，同时动点Q从点C出发以4cm/s的速度沿CD边向点D运动，当点Q到达D时立即以原来的速度沿射线DA运动，连接PQ，当点P到达C点时，点P、点Q同时停止运动，设点P，Q运动时间为t秒．
（1）当t=1s时，点Q到达点D；
（2）如图1，当点Q在CD上运动时，若△PCQ的面积等于△BEC的面积，求t的值；
（3）如图2，当点Q在DA的延长线上运动时，PQ与AB相交于点F，若AF：BF=3：2，求t的值，并判断此时PQ与CE的位置关系；
（4）在整个运动过程中，是否存在将菱形ABCD的周长和面积同时平分的情形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据时间=$\frac{路程}{速度}$即可求解；
（2）首先求得△BCE的面积，然后利用t表示出PC和CQ的长，则△PCQ的面积即可用t表示，则列方程即可求解；
（3）易证△AQF∽△BPF，根绝相似三角形的对应边的比相等即可列方程求解；
（4）PQ同时把菱形ABCD的周长和面积同时平分，则PQ一定经过菱形的中心，则一定有DQ=BP，据此即可求解．

解答 解：（1）t=$\frac{4}{4}$=1（s），故答案是：1s；
（2）在直角△BCE中，EC=BC•sin∠B=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$（cm），BE=$\frac{1}{2}$BC=2（cm），
则S_△BEC=$\frac{1}{2}$BE•EC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$（cm2），
运动的时间是ts，则BP=t，PC=4-t，CQ=4t，
则S_△PCQ=$\frac{1}{2}$PC•CQ•sin60°=$\frac{1}{2}$（4-t）•4t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-t²+4t，
则-t2+4t=2$\sqrt{3}$，
解得：t=1或$\frac{3}{2}$（舍去）．
故t=1．
（3）∵AD∥BC，
∴△AQF∽△BPF，
∴$\frac{AQ}{BP}$=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{4t-8}{t}$=$\frac{3}{2}$，
解得：t=$\frac{16}{5}$．
则BP=$\frac{16}{5}$，
又∵BF=$\frac{2}{5}$AB=$\frac{8}{5}$，BE=2，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BF}{BE}$，
∴PQ∥CE；
（4）PQ同时把菱形ABCD的周长和面积同时平分，则PQ一定经过菱形的中心，
则Q在AD上，且DQ=BP，则t-4=t，
此时无解，则t不存在．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，正确利用相似三角形的性质求得BP的长是关键．